Страница 6 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. На рисунке 3 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неправильно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 3

а

$10^\circ$, $60^\circ$, $40^\circ$

б

$10$, $9$, $50^\circ$, $65^\circ$

в

$17$, $18$, $120^\circ$, $40^\circ$

18. На рисунке 3 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неправильно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 3

a

б

в

Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма, а также теоремами из геометрии треугольников.

• Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны.
• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
• Внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны.
• Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
• Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ на рисунке а. Согласно обозначениям, даны углы: $\angle DAC = 60^\circ$, $\angle ACD = 40^\circ$ и $\angle ABD = 10^\circ$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel DC$. Из этого следует, что внутренние накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BAC = \angle ACD = 40^\circ$. Теперь мы можем найти полный угол при вершине $A$: $\angle DAB = \angle DAC + \angle BAC = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ$. Поскольку сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, то $\angle ADC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Угол $\angle ADC$ состоит из двух углов: $\angle ADB$ и $\angle BDC$. Так как $AB \parallel DC$, то накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны: $\angle BDC = \angle ABD = 10^\circ$. Тогда $\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC = 80^\circ - 10^\circ = 70^\circ$. Теперь проверим согласованность углов. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам в точке пересечения $O$, то есть $AO=OC$ и $BO=OD$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$. В $\triangle AOB$: $\angle BAO = 40^\circ$, $\angle ABO = 10^\circ$. В $\triangle AOD$: $\angle DAO = 60^\circ$, $\angle ADO = 70^\circ$. По теореме синусов для этих треугольников: Из $\triangle AOB$: $\frac{AO}{\sin(10^\circ)} = \frac{BO}{\sin(40^\circ)}$. Из $\triangle AOD$: $\frac{AO}{\sin(70^\circ)} = \frac{DO}{\sin(60^\circ)}$. Так как $BO=DO$, мы можем приравнять выражения для $AO/BO$: $\frac{\sin(10^\circ)}{\sin(40^\circ)} = \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(60^\circ)}$, что равносильно $\sin(10^\circ)\sin(60^\circ) = \sin(40^\circ)\sin(70^\circ)$. Приблизительные значения синусов: $\sin(10^\circ) \approx 0.174$, $\sin(60^\circ) \approx 0.866$, $\sin(40^\circ) \approx 0.643$, $\sin(70^\circ) \approx 0.940$. $0.174 \cdot 0.866 \approx 0.151$ $0.643 \cdot 0.940 \approx 0.604$ Так как $0.151 \neq 0.604$, равенство неверно. Следовательно, такой параллелограмм не может существовать.

Ответ: на рисунке а величины обозначены неправильно.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ на рисунке б. Даны: сторона $AB = 10$, диагональ $BD = 9$, угол $\angle BDC = 50^\circ$ и угол $\angle CBD = 65^\circ$. По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны, значит $CD = AB = 10$. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. В нем известны два угла: $\angle CBD = 65^\circ$ и $\angle CDB = 50^\circ$. Найдем третий угол треугольника: $\angle BCD = 180^\circ - (\angle CBD + \angle CDB) = 180^\circ - (65^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. Таким образом, в треугольнике $\triangle BCD$ есть два равных угла: $\angle CBD = \angle BCD = 65^\circ$. Это означает, что $\triangle BCD$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Сторона $CD$ лежит против угла $\angle CBD$, а сторона $BD$ — против угла $\angle BCD$. Следовательно, должно выполняться равенство $CD = BD$. Однако, по условию и свойствам параллелограмма мы имеем $CD = 10$ и $BD = 9$. Равенство $10 = 9$ неверно. Мы пришли к противоречию.

Ответ: на рисунке б величины обозначены неправильно.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ на рисунке в. Даны: сторона $AB = 17$, сторона $BC = 18$, угол $\angle ADC = 120^\circ$ и часть угла $C$, $\angle BCA = 40^\circ$. Из свойств параллелограмма, противоположный угол $\angle ABC = \angle ADC = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем известны две стороны $AB=17$, $BC=18$ и угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. Также дан угол $\angle BCA = 40^\circ$. Проверим, могут ли такие значения существовать в одном треугольнике, используя теорему синусов. Сначала найдем третий угол треугольника: $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BCA) = 180^\circ - (120^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$. Теперь по теореме синусов: $\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$ Подставим известные значения: $\frac{17}{\sin(40^\circ)} = \frac{18}{\sin(20^\circ)}$ Отсюда $17 \cdot \sin(20^\circ) = 18 \cdot \sin(40^\circ)$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(40^\circ) = 2\sin(20^\circ)\cos(20^\circ)$: $17 \cdot \sin(20^\circ) = 18 \cdot (2\sin(20^\circ)\cos(20^\circ))$. Поскольку $\sin(20^\circ) \neq 0$, можно разделить обе части на $\sin(20^\circ)$: $17 = 36 \cos(20^\circ)$. $\cos(20^\circ) = \frac{17}{36}$. Известно, что $\cos(20^\circ) \approx 0.940$, а $\frac{17}{36} \approx 0.472$. Так как $0.940 \neq 0.472$, равенство не выполняется. Мы пришли к противоречию.

Ответ: на рисунке в величины обозначены неправильно.

19. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите сторону $AB$ параллелограмма, если $OA = 8$ см и $\angle ABO = 30^{\circ}$.

19. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите сторону $AB$ параллелограмма, если $OA = 8 \text{ см}$ и $\angle ABO = 30^\circ$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию, $AO$ и $BO$ являются биссектрисами углов $A$ и $B$ соответственно. Нам известно, что $OA = 8$ см и $\angle ABO = 30^{\circ}$.

Поскольку $BO$ является биссектрисой угла $B$ (угла $\angle ABC$), она делит его на два равных угла. Таким образом, величина всего угла $B$ равна удвоенной величине угла $\angle ABO$:

$\angle B = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^{\circ}$. Углы $A$ и $B$ прилежат к стороне $AB$, следовательно:

$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$

Отсюда мы можем найти величину угла $A$:

$\angle A = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

По условию, $AO$ является биссектрисой угла $A$, поэтому она делит его пополам:

$\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Мы знаем два его угла: $\angle OAB = 60^{\circ}$ и $\angle ABO = 30^{\circ}$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому мы можем найти третий угол, $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle ABO) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Так как угол $\angle AOB$ равен $90^{\circ}$, треугольник $AOB$ является прямоугольным, где $AB$ — гипотенуза, а $OA$ и $OB$ — катеты.

В прямоугольном треугольнике $AOB$ катет $OA$ лежит напротив угла $\angle ABO = 30^{\circ}$. Известно свойство, что катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. То есть:

$OA = \frac{1}{2} AB$

Подставим известное значение $OA = 8$ см и найдем длину $AB$:

$8 = \frac{1}{2} AB$

$AB = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Также можно использовать определение синуса:

$\sin(\angle ABO) = \frac{OA}{AB}$

$\sin(30^{\circ}) = \frac{8}{AB}$

$\frac{1}{2} = \frac{8}{AB} \implies AB = 16$ см.

Ответ: 16 см.

20. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 7$ см, $AD = 12$ см. Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Найдите отрезки $BE$ и $EC$.

20. В параллелограмме ABCD известно, что $AB = 7$ см, $AD = 12$ см. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. Найдите отрезки BE и EC.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, $AD \parallel BC$ и $AD = BC$.
Из условия известно, что $AD = 12$ см, значит, и $BC = 12$ см.
По условию, $AE$ — биссектриса угла $A$, поэтому она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAE = \angle DAE$.
Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AE$. Углы $\angle DAE$ и $\angle BEA$ являются внутренними накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle DAE = \angle BEA$.
Из двух последних равенств ($\angle BAE = \angle DAE$ и $\angle DAE = \angle BEA$) следует, что $\angle BAE = \angle BEA$.
Рассмотрим треугольник $ABE$. Так как два его угла равны ($\angle BAE = \angle BEA$), то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AE$.
В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = BE$.
По условию задачи $AB = 7$ см, значит, $BE = 7$ см.
Точка $E$ лежит на стороне $BC$, поэтому длина отрезка $BC$ равна сумме длин отрезков $BE$ и $EC$: $BC = BE + EC$.
Теперь мы можем найти длину отрезка $EC$:
$EC = BC - BE = 12 \text{ см} - 7 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Ответ: $BE = 7$ см, $EC = 5$ см.

21. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ делит сторону $CD$ в отношении $1 : 3$, считая от вершины угла $C$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $84$ см.

21. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ делит сторону $CD$ в отношении $1 : 3$, считая от вершины угла $C$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $84$ см.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем биссектрису угла $A$, которая пересекает сторону $CD$ в точке $K$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $AK$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $∠BAK = ∠AKD$.

По условию, $AK$ — биссектриса угла $A$, значит, она делит этот угол пополам: $∠BAK = ∠DAK$.

Из двух полученных равенств следует, что $∠AKD = ∠DAK$.

Рассмотрим треугольник $ADK$. В нем два угла равны ($∠AKD = ∠DAK$), следовательно, треугольник $ADK$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AD = DK$.

По условию, точка $K$ делит сторону $CD$ в отношении $1 : 3$, считая от вершины $C$. Это означает, что $CK : KD = 1 : 3$.

Пусть $CK = x$ см, тогда $KD = 3x$ см.

Так как $AD = KD$, то $AD = 3x$ см.

Длина стороны $CD$ равна сумме длин отрезков $CK$ и $KD$:
$CD = CK + KD = x + 3x = 4x$ см.

Таким образом, смежные стороны параллелограмма равны $AD = 3x$ см и $CD = 4x$ см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон. По условию, периметр равен 84 см.

Составим и решим уравнение:
$P = 2(AD + CD)$
$84 = 2(3x + 4x)$
$84 = 2 \cdot 7x$
$84 = 14x$
$x = 84 / 14$
$x = 6$

Теперь найдем длины сторон параллелограмма:
$AD = 3x = 3 \cdot 6 = 18$ см.
$CD = 4x = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому $BC = AD = 18$ см и $AB = CD = 24$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 18 см и 24 см.

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $60^\circ$. Высота $BE$ делит сторону $AD$ в отношении $3 : 8$, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $68 \text{ см}$.

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $60^\circ$. Высота $BE$ делит сторону $AD$ в отношении $3 : 8$, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $68$ см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. По условию, угол $A$ равен $60^\circ$, значит, он острый. Высота $BE$ проведена из вершины $B$ к стороне $AD$, образуя прямоугольный треугольник $\triangle ABE$ (где $\angle AEB = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABE$ мы можем выразить катет $AE$ через гипотенузу $AB$ и прилежащий угол $\angle A$:$AE = AB \cdot \cos(\angle A)$.Подставим известные значения:$AE = AB \cdot \cos(60^\circ) = AB \cdot \frac{1}{2}$.Отсюда следует, что сторона $AB$ вдвое больше отрезка $AE$:$AB = 2 \cdot AE$.

Согласно условию, высота $BE$ делит сторону $AD$ в отношении $3 : 8$, считая от вершины острого угла $A$. Это означает, что $AE : ED = 3 : 8$.Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $AE = 3x$ и $ED = 8x$.

Теперь мы можем выразить стороны параллелограмма через $x$.Сторона $AD$ состоит из двух отрезков:$AD = AE + ED = 3x + 8x = 11x$.Сторону $AB$ мы ранее выразили через $AE$:$AB = 2 \cdot AE = 2 \cdot (3x) = 6x$.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(AB + AD)$. По условию, периметр равен 68 см. Составим и решим уравнение:$2(6x + 11x) = 68$$2 \cdot (17x) = 68$$34x = 68$$x = \frac{68}{34}$$x = 2$

Найдем длины сторон параллелограмма, подставив найденное значение $x$:$AB = 6x = 6 \cdot 2 = 12$ см.$AD = 11x = 11 \cdot 2 = 22$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 12 см и 22 см.

23. Два угла параллелограмма относятся как 1 : 5. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла.

23. Два угла параллелограмма относятся как $1 : 5$. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла.

Пусть два соседних угла параллелограмма равны $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллелограмма, сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$. Противоположные углы в параллелограмме равны.

По условию, два угла относятся как $1:5$. Так как противоположные углы равны, их отношение было бы $1:1$. Следовательно, речь идет о соседних углах. Пусть $\alpha$ - меньший угол, а $\beta$ - больший. Тогда мы можем записать их отношение как:

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{5}$, откуда $\beta = 5\alpha$.

Подставим это выражение в формулу суммы соседних углов:

$\alpha + 5\alpha = 180^\circ$

$6\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$

Таким образом, острый угол параллелограмма равен $30^\circ$.

Больший, тупой угол равен $\beta = 5\alpha = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Теперь нам нужно найти угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла. Пусть параллелограмм называется $ABCD$, и острый угол находится в вершине $A$, то есть $\angle A = 30^\circ$. Смежные с ним углы $\angle B$ и $\angle D$ будут тупыми, равными $150^\circ$.

Проведем из вершины $A$ две высоты: $AH_1$ на прямую, содержащую сторону $BC$, и $AH_2$ на прямую, содержащую сторону $CD$. Мы ищем угол $\angle H_1AH_2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABH_1$. Так как угол $\angle B$ тупой ($150^\circ$), высота $AH_1$ падает на продолжение стороны $BC$. Угол $\angle ABH_1$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH_1 = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Треугольник $\triangle ABH_1$ прямоугольный ($\angle AH_1B = 90^\circ$), следовательно, угол $\angle BAH_1 = 90^\circ - \angle ABH_1 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle ADH_2$. Так как угол $\angle D$ тупой ($150^\circ$), высота $AH_2$ падает на продолжение стороны $CD$. Угол $\angle ADH_2$ является смежным с углом $\angle ADC$, поэтому $\angle ADH_2 = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Треугольник $\triangle ADH_2$ прямоугольный ($\angle AH_2D = 90^\circ$), следовательно, угол $\angle DAH_2 = 90^\circ - \angle ADH_2 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Искомый угол между высотами $\angle H_1AH_2$ складывается из трех углов при вершине $A$: угла $\angle BAH_1$, острого угла параллелограмма $\angle DAB$ и угла $\angle DAH_2$.

$\angle H_1AH_2 = \angle BAH_1 + \angle DAB + \angle DAH_2 = 60^\circ + 30^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.

Таким образом, угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Ответ: $150^\circ$.

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BM$ и $BK$. Найдите периметр параллелограмма, если $BM = 6$ см, $BK = 9$ см, $\angle ADC = 150^\circ$.

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BM$ и $BK$. Найдите периметр параллелограмма, если $BM = 6$ см, $BK = 9$ см, $\angle ADC = 150^\circ$.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ стороны равны $AB=CD$ и $BC=AD$. Из условия, из вершины $B$ проведены высоты $BM=6$ см и $BK=9$ см. Высота $BM$ проведена к стороне $CD$ (или её продолжению), а высота $BK$ — к стороне $AD$ (или её продолжению).

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. По условию, тупой угол $\angle ADC = 150^\circ$. Следовательно, острые углы параллелограмма равны: $\angle DAB = \angle BCD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK$, в котором $\angle AKB = 90^\circ$. Катет $BK$ лежит напротив угла $\angle DAB = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Отсюда, гипотенуза $AB$ равна удвоенной длине катета $BK$: $AB = 2 \cdot BK = 2 \cdot 9 = 18$ см. Или через синус: $\sin(\angle DAB) = \frac{BK}{AB} \Rightarrow AB = \frac{BK}{\sin(30^\circ)} = \frac{9}{1/2} = 18$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCM$, в котором $\angle BMC = 90^\circ$. Катет $BM$ лежит напротив угла $\angle BCD = 30^\circ$. Аналогично, гипотенуза $BC$ равна удвоенной длине катета $BM$: $BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot 6 = 12$ см. Или через синус: $\sin(\angle BCD) = \frac{BM}{BC} \Rightarrow BC = \frac{BM}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{1/2} = 12$ см.

Мы нашли длины смежных сторон параллелограмма: $AB = 18$ см и $BC = 12$ см. Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ равен удвоенной сумме его смежных сторон: $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC)$ $P_{ABCD} = 2 \cdot (18 + 12) = 2 \cdot 30 = 60$ см.

Ответ: 60 см.

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Найдите периметр полученного параллелограмма, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см.

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Найдите периметр полученного параллелограмма, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$. По условию, длина боковой стороны равна 6 см, то есть $AB = BC = 6$ см.

На основании $AC$ выбрана произвольная точка $D$. Через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает сторону $AB$ в точке $F$. Таким образом, $DF \parallel BC$. Также через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Таким образом, $DE \parallel AB$.

Четырехугольник $FBED$ является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны попарно параллельны по построению ($DF \parallel BE$ и $DE \parallel FB$).

Требуется найти периметр этого параллелограмма $P_{FBED}$. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме его смежных сторон: $P_{FBED} = 2(DF + FB)$.

Рассмотрим свойства углов в исходном треугольнике и при параллельных прямых.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим параллельные прямые $DF$ и $BC$ и секущую $AC$. Соответственные углы при этих прямых равны: $\angle DFA = \angle BCA$. Но так как $\angle BAC = \angle BCA$, то получаем, что в треугольнике $AFD$ углы при стороне $AD$ равны: $\angle FAD = \angle FDA$.

Это означает, что треугольник $AFD$ — равнобедренный, и, следовательно, $AF = DF$.

Теперь подставим это в формулу периметра параллелограмма:

$P_{FBED} = 2(DF + FB) = 2(AF + FB)$.

Сумма отрезков $AF$ и $FB$ составляет всю боковую сторону $AB$: $AF + FB = AB$.

Следовательно, периметр параллелограмма равен:

$P_{FBED} = 2 \times AB$.

По условию задачи, боковая сторона $AB$ равна 6 см. Вычисляем периметр:

$P_{FBED} = 2 \times 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.