Номер 24, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BM$ и $BK$. Найдите периметр параллелограмма, если $BM = 6$ см, $BK = 9$ см, $\angle ADC = 150^\circ$.

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BM$ и $BK$. Найдите периметр параллелограмма, если $BM = 6$ см, $BK = 9$ см, $\angle ADC = 150^\circ$.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ стороны равны $AB=CD$ и $BC=AD$. Из условия, из вершины $B$ проведены высоты $BM=6$ см и $BK=9$ см. Высота $BM$ проведена к стороне $CD$ (или её продолжению), а высота $BK$ — к стороне $AD$ (или её продолжению).

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. По условию, тупой угол $\angle ADC = 150^\circ$. Следовательно, острые углы параллелограмма равны: $\angle DAB = \angle BCD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK$, в котором $\angle AKB = 90^\circ$. Катет $BK$ лежит напротив угла $\angle DAB = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Отсюда, гипотенуза $AB$ равна удвоенной длине катета $BK$: $AB = 2 \cdot BK = 2 \cdot 9 = 18$ см. Или через синус: $\sin(\angle DAB) = \frac{BK}{AB} \Rightarrow AB = \frac{BK}{\sin(30^\circ)} = \frac{9}{1/2} = 18$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCM$, в котором $\angle BMC = 90^\circ$. Катет $BM$ лежит напротив угла $\angle BCD = 30^\circ$. Аналогично, гипотенуза $BC$ равна удвоенной длине катета $BM$: $BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot 6 = 12$ см. Или через синус: $\sin(\angle BCD) = \frac{BM}{BC} \Rightarrow BC = \frac{BM}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{1/2} = 12$ см.

Мы нашли длины смежных сторон параллелограмма: $AB = 18$ см и $BC = 12$ см. Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ равен удвоенной сумме его смежных сторон: $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC)$ $P_{ABCD} = 2 \cdot (18 + 12) = 2 \cdot 30 = 60$ см.

Ответ: 60 см.