Номер 18, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. На рисунке 3 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неправильно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 3

а

$10^\circ$, $60^\circ$, $40^\circ$

б

$10$, $9$, $50^\circ$, $65^\circ$

в

$17$, $18$, $120^\circ$, $40^\circ$

18. На рисунке 3 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неправильно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 3

a

б

в

Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма, а также теоремами из геометрии треугольников.

• Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны.
• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
• Внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны.
• Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
• Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ на рисунке а. Согласно обозначениям, даны углы: $\angle DAC = 60^\circ$, $\angle ACD = 40^\circ$ и $\angle ABD = 10^\circ$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel DC$. Из этого следует, что внутренние накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BAC = \angle ACD = 40^\circ$. Теперь мы можем найти полный угол при вершине $A$: $\angle DAB = \angle DAC + \angle BAC = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ$. Поскольку сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, то $\angle ADC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Угол $\angle ADC$ состоит из двух углов: $\angle ADB$ и $\angle BDC$. Так как $AB \parallel DC$, то накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны: $\angle BDC = \angle ABD = 10^\circ$. Тогда $\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC = 80^\circ - 10^\circ = 70^\circ$. Теперь проверим согласованность углов. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам в точке пересечения $O$, то есть $AO=OC$ и $BO=OD$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$. В $\triangle AOB$: $\angle BAO = 40^\circ$, $\angle ABO = 10^\circ$. В $\triangle AOD$: $\angle DAO = 60^\circ$, $\angle ADO = 70^\circ$. По теореме синусов для этих треугольников: Из $\triangle AOB$: $\frac{AO}{\sin(10^\circ)} = \frac{BO}{\sin(40^\circ)}$. Из $\triangle AOD$: $\frac{AO}{\sin(70^\circ)} = \frac{DO}{\sin(60^\circ)}$. Так как $BO=DO$, мы можем приравнять выражения для $AO/BO$: $\frac{\sin(10^\circ)}{\sin(40^\circ)} = \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(60^\circ)}$, что равносильно $\sin(10^\circ)\sin(60^\circ) = \sin(40^\circ)\sin(70^\circ)$. Приблизительные значения синусов: $\sin(10^\circ) \approx 0.174$, $\sin(60^\circ) \approx 0.866$, $\sin(40^\circ) \approx 0.643$, $\sin(70^\circ) \approx 0.940$. $0.174 \cdot 0.866 \approx 0.151$ $0.643 \cdot 0.940 \approx 0.604$ Так как $0.151 \neq 0.604$, равенство неверно. Следовательно, такой параллелограмм не может существовать.

Ответ: на рисунке а величины обозначены неправильно.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ на рисунке б. Даны: сторона $AB = 10$, диагональ $BD = 9$, угол $\angle BDC = 50^\circ$ и угол $\angle CBD = 65^\circ$. По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны, значит $CD = AB = 10$. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. В нем известны два угла: $\angle CBD = 65^\circ$ и $\angle CDB = 50^\circ$. Найдем третий угол треугольника: $\angle BCD = 180^\circ - (\angle CBD + \angle CDB) = 180^\circ - (65^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. Таким образом, в треугольнике $\triangle BCD$ есть два равных угла: $\angle CBD = \angle BCD = 65^\circ$. Это означает, что $\triangle BCD$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Сторона $CD$ лежит против угла $\angle CBD$, а сторона $BD$ — против угла $\angle BCD$. Следовательно, должно выполняться равенство $CD = BD$. Однако, по условию и свойствам параллелограмма мы имеем $CD = 10$ и $BD = 9$. Равенство $10 = 9$ неверно. Мы пришли к противоречию.

Ответ: на рисунке б величины обозначены неправильно.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ на рисунке в. Даны: сторона $AB = 17$, сторона $BC = 18$, угол $\angle ADC = 120^\circ$ и часть угла $C$, $\angle BCA = 40^\circ$. Из свойств параллелограмма, противоположный угол $\angle ABC = \angle ADC = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нем известны две стороны $AB=17$, $BC=18$ и угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. Также дан угол $\angle BCA = 40^\circ$. Проверим, могут ли такие значения существовать в одном треугольнике, используя теорему синусов. Сначала найдем третий угол треугольника: $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BCA) = 180^\circ - (120^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$. Теперь по теореме синусов: $\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$ Подставим известные значения: $\frac{17}{\sin(40^\circ)} = \frac{18}{\sin(20^\circ)}$ Отсюда $17 \cdot \sin(20^\circ) = 18 \cdot \sin(40^\circ)$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(40^\circ) = 2\sin(20^\circ)\cos(20^\circ)$: $17 \cdot \sin(20^\circ) = 18 \cdot (2\sin(20^\circ)\cos(20^\circ))$. Поскольку $\sin(20^\circ) \neq 0$, можно разделить обе части на $\sin(20^\circ)$: $17 = 36 \cos(20^\circ)$. $\cos(20^\circ) = \frac{17}{36}$. Известно, что $\cos(20^\circ) \approx 0.940$, а $\frac{17}{36} \approx 0.472$. Так как $0.940 \neq 0.472$, равенство не выполняется. Мы пришли к противоречию.

Ответ: на рисунке в величины обозначены неправильно.