Номер 11, страница 5 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 1) $ \angle 1 = \angle 2 $, $ \angle 3 = \angle 4 $. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 1

11. В четырёхугольнике $ABCD$ (рис. 1) $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$.

Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 1

Для доказательства того, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, мы используем признак параллельности прямых и определение параллелограмма. Рассмотрим диагональ $BD$ как секущую.

1. Сначала рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $BD$. Углы $\angle 1$ ($\angle ABD$) и $\angle 2$ ($\angle CDB$) являются внутренними накрест лежащими углами. По условию задачи, $\angle 1 = \angle 2$. Согласно признаку параллельности двух прямых, если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Отсюда следует, что $AB \parallel CD$.

2. Теперь рассмотрим прямые $BC$ и $AD$ и ту же секущую $BD$. Углы $\angle 3$ ($\angle CBD$) и $\angle 4$ ($\angle ADB$) также являются внутренними накрест лежащими углами. По условию задачи, $\angle 3 = \angle 4$. По тому же признаку параллельности прямых, мы заключаем, что $BC \parallel AD$.

3. Мы установили, что в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Из равенства накрест лежащих углов $\angle 1 = \angle 2$ при секущей $BD$ следует параллельность сторон $AB$ и $CD$. Из равенства накрест лежащих углов $\angle 3 = \angle 4$ при той же секущей $BD$ следует параллельность сторон $BC$ и $AD$. Так как в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны, он является параллелограммом по определению.