Номер 4, страница 4 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам:

1) $3, 4, 8 \text{ и } 9$;

2) $2, 3, 4 \text{ и } 11$.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам:

1) 3, 4, 8 и 9;

2) 2, 3, 4 и 11.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Чтобы найти углы, пропорциональные заданным числам, нужно сначала найти сумму этих чисел (частей), а затем разделить $360^\circ$ на эту сумму, чтобы найти, сколько градусов приходится на одну часть.

1) Углы пропорциональны числам 3, 4, 8 и 9

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда углы четырехугольника равны $3x$, $4x$, $8x$ и $9x$.

Составим уравнение, используя свойство о сумме углов четырехугольника:

$3x + 4x + 8x + 9x = 360^\circ$

Сложим все части:

$24x = 360^\circ$

Найдем $x$:

$x = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ$

Теперь вычислим каждый угол:

• Первый угол: $3 \cdot 15^\circ = 45^\circ$
• Второй угол: $4 \cdot 15^\circ = 60^\circ$
• Третий угол: $8 \cdot 15^\circ = 120^\circ$
• Четвертый угол: $9 \cdot 15^\circ = 135^\circ$

Четырехугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше $180^\circ$. В данном случае все углы ($45^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $135^\circ$) меньше $180^\circ$, следовательно, четырехугольник выпуклый.

Ответ: углы четырехугольника равны $45^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$ и $135^\circ$; четырехугольник является выпуклым.

2) Углы пропорциональны числам 2, 3, 4 и 11

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда углы четырехугольника равны $2x$, $3x$, $4x$ и $11x$.

Составим уравнение:

$2x + 3x + 4x + 11x = 360^\circ$

Сложим все части:

$20x = 360^\circ$

Найдем $x$:

$x = \frac{360^\circ}{20} = 18^\circ$

Теперь вычислим каждый угол:

• Первый угол: $2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$
• Второй угол: $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$
• Третий угол: $4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$
• Четвертый угол: $11 \cdot 18^\circ = 198^\circ$

Так как один из углов ($198^\circ$) больше $180^\circ$, данный четырехугольник не является выпуклым (он вогнутый).

Ответ: углы четырехугольника равны $36^\circ$, $54^\circ$, $72^\circ$ и $198^\circ$; четырехугольник не является выпуклым.