Номер 3, страница 4 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. В четырёхугольнике $ABCD$ угол $D$ равен $100^\circ$, а угол $A$ на $23^\circ$ больше угла $B$ и в 3 раза меньше угла $C$. Найдите неизвестные углы четырёхугольника.

3. В четырёхугольнике $ABCD$ угол $D$ равен $100^{\circ}$, а угол $A$ на $23^{\circ}$ больше угла $B$ и в $3$ раза меньше угла $C$. Найдите неизвестные углы четырёхугольника.

Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Для четырёхугольника ABCD это означает, что $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Согласно условию задачи:

• $\angle D = 100^\circ$
• Угол A на $23^\circ$ больше угла B, то есть $\angle A = \angle B + 23^\circ$.
• Угол A в 3 раза меньше угла C, то есть $\angle C = 3 \cdot \angle A$.

Для решения составим уравнение. Сначала выразим все неизвестные углы через одну переменную. Удобнее всего выразить все углы через $\angle A$.

Из соотношения $\angle A = \angle B + 23^\circ$ следует, что $\angle B = \angle A - 23^\circ$.

Теперь подставим все известные и выраженные углы в формулу суммы углов четырёхугольника:

$\angle A + (\angle A - 23^\circ) + (3 \cdot \angle A) + 100^\circ = 360^\circ$

Решим полученное уравнение относительно $\angle A$:

$\angle A + \angle A - 23^\circ + 3\angle A + 100^\circ = 360^\circ$
$5\angle A + 77^\circ = 360^\circ$
$5\angle A = 360^\circ - 77^\circ$
$5\angle A = 283^\circ$
$\angle A = \frac{283^\circ}{5} = 56,6^\circ$

Теперь, когда мы нашли величину угла A, можем вычислить остальные неизвестные углы:

$\angle B = \angle A - 23^\circ = 56,6^\circ - 23^\circ = 33,6^\circ$

$\angle C = 3 \cdot \angle A = 3 \cdot 56,6^\circ = 169,8^\circ$

Ответ: $\angle A = 56,6^\circ$, $\angle B = 33,6^\circ$, $\angle C = 169,8^\circ$.