Страница 4 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Для четырёхугольника $ABCD$ запишите:

1) вершины, соседние с вершиной $A$;

2) вершину, противолежащую вершине $B$;

3) стороны, соседние со стороной $CD$;

4) сторону, противолежащую стороне $BC$;

5) диагонали четырёхугольника.

1. Для четырёхугольника $ABCD$ запишите:

1) вершины, соседние с вершиной $A$;

2) вершину, противолежащую вершине $B$;

3) стороны, соседние со стороной $CD$;

4) сторону, противолежащую стороне $BC$;

5) диагонали четырёхугольника.

1) вершины, соседние с вершиной A;
В четырёхугольнике $ABCD$ вершины, которые соединены со стороной, называются соседними или смежными. Вершина $A$ является общей точкой для сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, вершины, соединенные с $A$ этими сторонами, являются соседними для нее.
Ответ: $B$ и $D$.

2) вершину, противолежащую вершине B;
Вершина, которая не является соседней для данной вершины, называется противолежащей (или противоположной). Для вершины $B$ соседними являются вершины $A$ и $C$. Единственная вершина, которая не является соседней для $B$, – это $D$.
Ответ: $D$.

3) стороны, соседние со стороной CD;
Стороны четырёхугольника, имеющие общую вершину, называются соседними. Сторона $CD$ имеет две вершины: $C$ и $D$. Сторона, имеющая общую вершину $C$, – это $BC$. Сторона, имеющая общую вершину $D$, – это $DA$.
Ответ: $BC$ и $DA$.

4) сторону, противолежащую стороне BC;
Противолежащие стороны четырёхугольника не имеют общих вершин. Сторона $BC$ соединяет вершины $B$ и $C$. Две другие вершины четырёхугольника, $A$ и $D$, образуют сторону $AD$. Стороны $BC$ и $AD$ не имеют общих вершин, следовательно, они противолежащие.
Ответ: $AD$.

5) диагонали четырёхугольника.
Диагональ четырёхугольника – это отрезок, соединяющий две противолежащие вершины. В четырёхугольнике $ABCD$ есть две пары противолежащих вершин: ($A$ и $C$) и ($B$ и $D$). Соответственно, диагоналями являются отрезки, соединяющие эти пары вершин.
Ответ: $AC$ и $BD$.

2. Чему равен четвёртый угол четырёхугольника, если три его угла соответственно равны $59^\circ$, $138^\circ$ и $152^\circ$?

2. Чему равен четвёртый угол четырёхугольника, если три его угла соответственно равны $59^\circ$, $138^\circ$ и $152^\circ$?

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$. Это следует из общей формулы для суммы углов n-угольника: $(n-2) \times 180^\circ$. Для четырехугольника, где $n=4$, сумма углов равна $(4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$.

Нам известны три угла четырехугольника: $59^\circ$, $138^\circ$ и $152^\circ$. Чтобы найти четвертый угол, сначала найдем сумму этих трех углов.

$59^\circ + 138^\circ + 152^\circ = 349^\circ$

Теперь вычтем полученную сумму из $360^\circ$, чтобы найти величину четвертого угла. Пусть неизвестный угол будет $x$.

$x = 360^\circ - (59^\circ + 138^\circ + 152^\circ)$

$x = 360^\circ - 349^\circ$

$x = 11^\circ$

Ответ: $11^\circ$

3. В четырёхугольнике $ABCD$ угол $D$ равен $100^\circ$, а угол $A$ на $23^\circ$ больше угла $B$ и в 3 раза меньше угла $C$. Найдите неизвестные углы четырёхугольника.

3. В четырёхугольнике $ABCD$ угол $D$ равен $100^{\circ}$, а угол $A$ на $23^{\circ}$ больше угла $B$ и в $3$ раза меньше угла $C$. Найдите неизвестные углы четырёхугольника.

Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Для четырёхугольника ABCD это означает, что $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Согласно условию задачи:

• $\angle D = 100^\circ$
• Угол A на $23^\circ$ больше угла B, то есть $\angle A = \angle B + 23^\circ$.
• Угол A в 3 раза меньше угла C, то есть $\angle C = 3 \cdot \angle A$.

Для решения составим уравнение. Сначала выразим все неизвестные углы через одну переменную. Удобнее всего выразить все углы через $\angle A$.

Из соотношения $\angle A = \angle B + 23^\circ$ следует, что $\angle B = \angle A - 23^\circ$.

Теперь подставим все известные и выраженные углы в формулу суммы углов четырёхугольника:

$\angle A + (\angle A - 23^\circ) + (3 \cdot \angle A) + 100^\circ = 360^\circ$

Решим полученное уравнение относительно $\angle A$:

$\angle A + \angle A - 23^\circ + 3\angle A + 100^\circ = 360^\circ$
$5\angle A + 77^\circ = 360^\circ$
$5\angle A = 360^\circ - 77^\circ$
$5\angle A = 283^\circ$
$\angle A = \frac{283^\circ}{5} = 56,6^\circ$

Теперь, когда мы нашли величину угла A, можем вычислить остальные неизвестные углы:

$\angle B = \angle A - 23^\circ = 56,6^\circ - 23^\circ = 33,6^\circ$

$\angle C = 3 \cdot \angle A = 3 \cdot 56,6^\circ = 169,8^\circ$

Ответ: $\angle A = 56,6^\circ$, $\angle B = 33,6^\circ$, $\angle C = 169,8^\circ$.

4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам:

1) $3, 4, 8 \text{ и } 9$;

2) $2, 3, 4 \text{ и } 11$.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

4. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам:

1) 3, 4, 8 и 9;

2) 2, 3, 4 и 11.

Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Чтобы найти углы, пропорциональные заданным числам, нужно сначала найти сумму этих чисел (частей), а затем разделить $360^\circ$ на эту сумму, чтобы найти, сколько градусов приходится на одну часть.

1) Углы пропорциональны числам 3, 4, 8 и 9

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда углы четырехугольника равны $3x$, $4x$, $8x$ и $9x$.

Составим уравнение, используя свойство о сумме углов четырехугольника:

$3x + 4x + 8x + 9x = 360^\circ$

Сложим все части:

$24x = 360^\circ$

Найдем $x$:

$x = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ$

Теперь вычислим каждый угол:

• Первый угол: $3 \cdot 15^\circ = 45^\circ$
• Второй угол: $4 \cdot 15^\circ = 60^\circ$
• Третий угол: $8 \cdot 15^\circ = 120^\circ$
• Четвертый угол: $9 \cdot 15^\circ = 135^\circ$

Четырехугольник является выпуклым, если все его внутренние углы меньше $180^\circ$. В данном случае все углы ($45^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $135^\circ$) меньше $180^\circ$, следовательно, четырехугольник выпуклый.

Ответ: углы четырехугольника равны $45^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$ и $135^\circ$; четырехугольник является выпуклым.

2) Углы пропорциональны числам 2, 3, 4 и 11

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда углы четырехугольника равны $2x$, $3x$, $4x$ и $11x$.

Составим уравнение:

$2x + 3x + 4x + 11x = 360^\circ$

Сложим все части:

$20x = 360^\circ$

Найдем $x$:

$x = \frac{360^\circ}{20} = 18^\circ$

Теперь вычислим каждый угол:

• Первый угол: $2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$
• Второй угол: $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$
• Третий угол: $4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$
• Четвертый угол: $11 \cdot 18^\circ = 198^\circ$

Так как один из углов ($198^\circ$) больше $180^\circ$, данный четырехугольник не является выпуклым (он вогнутый).

Ответ: углы четырехугольника равны $36^\circ$, $54^\circ$, $72^\circ$ и $198^\circ$; четырехугольник не является выпуклым.

5. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = AD$, а диагональ $AC$ образует с этими сторонами равные углы. Найдите сторону $BC$, если $CD = 9$ см.

5. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = AD$, а диагональ $AC$ образует с этими сторонами равные углы. Найдите сторону $BC$, если $CD = 9$ см.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Сравним эти треугольники. Согласно условию задачи:

1. $AB = AD$ (две стороны четырехугольника равны).

2. $\angle BAC = \angle DAC$ (диагональ $AC$ образует с этими сторонами равные углы).

3. $AC$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle ADC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что их соответственные элементы равны. В частности, сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ соответствует стороне $CD$ треугольника $\triangle ADC$.

Следовательно, $BC = CD$.

По условию задачи дано, что $CD = 9$ см. Значит, и сторона $BC$ также равна 9 см.

Ответ: 9 см.

6. В четырёхугольнике ABCD $AB = CD$, $BC = AD$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADC = 132^\circ$.

6. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = CD$, $BC = AD$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADC = 132^\circ$.

В четырёхугольнике $ABCD$ даны равенства противолежащих сторон: $AB = CD$ и $BC = AD$.

Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны, является параллелограммом. Это один из признаков параллелограмма. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Для доказательства этого факта можно провести диагональ $AC$. Она разделит четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сравним эти треугольники: 1. $AB = CD$ (по условию); 2. $BC = AD$ (по условию); 3. $AC$ — общая сторона. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle ABC$ лежит напротив общей стороны $AC$ в треугольнике $\triangle ABC$, а угол $\angle ADC$ лежит напротив той же стороны $AC$ в треугольнике $\triangle CDA$. Значит, эти углы равны: $\angle ABC = \angle ADC$.

Это также является основным свойством параллелограмма — его противолежащие углы равны.

По условию задачи $\angle ADC = 132^\circ$.

Следовательно, искомый угол $\angle ABC = \angle ADC = 132^\circ$.

Ответ: $132^\circ$.

7. В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, а диагональ $BD$ образует со сторонами $BA$ и $BC$ равные углы. Докажите, что $AD = DC$.

7. В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, а диагональ $BD$ образует со сторонами $BA$ и $BC$ равные углы. Докажите, что $AD = DC$.

Пусть диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$.По условию задачи, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$. Это означает, что все углы, образованные при их пересечении, являются прямыми: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.Также по условию, диагональ $BD$ образует со сторонами $BA$ и $BC$ равные углы, то есть $\angle ABD = \angle CBD$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$.В этих треугольниках:1. Катет $BO$ является общим.2. Прилежащий к нему острый угол $\angle ABO$ равен острому углу $\angle CBO$ по условию.Следовательно, треугольник $\triangle ABO$ равен треугольнику $\triangle CBO$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов: $AO = CO$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle CDO$.В этих треугольниках:1. Катет $AO$ равен катету $CO$ (как доказано выше).2. Катет $DO$ является общим.Следовательно, треугольник $\triangle ADO$ равен треугольнику $\triangle CDO$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), что также соответствует первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, так как $\angle AOD = \angle COD = 90^\circ$).Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих гипотенуз: $AD = DC$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = DC$ доказано.

8. Диагональ четырёхугольника равна 8 см, а периметры треугольников, на которые эта диагональ разбивает данный четырёхугольник, равны 30 см и 23 см. Найдите периметр четырёхугольника.

8. Диагональ четырёхугольника равна 8 см, а периметры треугольников, на которые эта диагональ разбивает данный четырёхугольник, равны 30 см и 23 см. Найдите периметр четырёхугольника.

Пусть стороны четырехугольника равны $a, b, c, d$, а длина диагонали равна $d_{1}$. Эта диагональ разбивает четырехугольник на два треугольника.

Первый треугольник имеет стороны $a, b$ и $d_{1}$. Его периметр $P_1$ равен: $P_1 = a + b + d_{1}$

Второй треугольник имеет стороны $c, d$ и $d_{1}$. Его периметр $P_2$ равен: $P_2 = c + d + d_{1}$

Периметр четырехугольника $P_{чет}$ равен сумме длин его сторон: $P_{чет} = a + b + c + d$

Сложим периметры двух треугольников: $P_1 + P_2 = (a + b + d_{1}) + (c + d + d_{1})$ $P_1 + P_2 = (a + b + c + d) + 2 \cdot d_{1}$

Заметим, что сумма в скобках - это и есть периметр четырехугольника. $P_1 + P_2 = P_{чет} + 2 \cdot d_{1}$

Отсюда можно выразить периметр четырехугольника: $P_{чет} = P_1 + P_2 - 2 \cdot d_{1}$

По условию задачи нам даны значения: $d_{1} = 8$ см
$P_1 = 30$ см
$P_2 = 23$ см

Подставим эти значения в нашу формулу: $P_{чет} = 30 + 23 - 2 \cdot 8$ $P_{чет} = 53 - 16$ $P_{чет} = 37$ см

Ответ: 37 см.

9. Существует ли четырёхугольник, стороны которого равны 5 см, 8 см, 10 см и 24 см?

9. Существует ли четырёхугольник, стороны которого равны 5 см, 8 см, 10 см и 24 см?

9.

Для того чтобы многоугольник, в том числе и четырёхугольник, мог существовать, необходимо выполнение условия, известного как неравенство многоугольника. Оно гласит, что длина любой стороны многоугольника должна быть меньше суммы длин всех остальных его сторон. Достаточно проверить это условие для самой длинной стороны.

В данной задаче нам даны четыре стороны: 5 см, 8 см, 10 см и 24 см.

1. Определим самую длинную сторону. Это сторона длиной 24 см.

2. Найдём сумму длин трёх остальных сторон:
$5 \text{ см} + 8 \text{ см} + 10 \text{ см} = 23 \text{ см}$.

3. Сравним длину самой длинной стороны с суммой длин остальных сторон:
$24 \text{ см}$ и $23 \text{ см}$.

Мы видим, что $24 > 23$.

Поскольку длина наибольшей стороны (24 см) оказалась больше суммы длин трёх других сторон (23 см), неравенство многоугольника не выполняется. Это означает, что если мы попытаемся построить такой четырёхугольник, то три более короткие стороны, даже будучи вытянутыми в одну прямую линию, не смогут соединить концы самой длинной стороны. Следовательно, такой четырёхугольник не существует.

Ответ: нет, четырёхугольник со сторонами 5 см, 8 см, 10 см и 24 см не существует.

10. Существует ли четырёхугольник, периметр которого равен 46 см, а диагонали равны:

1) 23 см и 24 см;

2) 10 см и 12 см?

10. Существует ли четырёхугольник, периметр которого равен 46 см, а диагонали равны:

1) 23 см и 24 см;

2) 10 см и 12 см?

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами выпуклого четырехугольника, которые следуют из неравенства треугольника.

Пусть стороны четырехугольника равны $a, b, c, d$, а его диагонали — $p$ и $q$. Периметр четырехугольника $P = a + b + c + d$.

Для существования выпуклого четырехугольника должны выполняться два основных условия, связывающих его стороны и диагонали.

Условие 1: Каждая диагональ выпуклого четырехугольника меньше его полупериметра.

Рассмотрим диагональ $p$. Она делит четырехугольник на два треугольника со сторонами ($a, b, p$) и ($c, d, p$). Согласно неравенству треугольника для каждого из них:

$a + b > p$

$c + d > p$

Сложив эти два неравенства, получаем:

$(a + b) + (c + d) > p + p \implies P > 2p \implies p < \frac{P}{2}$

Аналогично для диагонали $q$, которая делит четырехугольник на треугольники со сторонами ($a, d, q$) и ($b, c, q$), получаем:

$a + d > q$

$b + c > q$

Сложение этих неравенств дает:

$(a + d) + (b + c) > q + q \implies P > 2q \implies q < \frac{P}{2}$

Условие 2: Периметр выпуклого четырехугольника меньше удвоенной суммы его диагоналей.

Пусть диагонали $p$ (AC) и $q$ (BD) пересекаются в точке O. Они делят четырехугольник на четыре треугольника: AOB, BOC, COD, DOA. Применим к каждому из них неравенство треугольника:

Сторона $a$ (AB) $< AO + OB$

Сторона $b$ (BC) $< OB + OC$

Сторона $c$ (CD) $< OC + OD$

Сторона $d$ (DA) $< OD + OA$

Сложив эти четыре неравенства, получим:

$a + b + c + d < (AO + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OD + OA)$

$P < 2 \cdot AO + 2 \cdot OB + 2 \cdot OC + 2 \cdot OD$

$P < 2 \cdot (AO + OC) + 2 \cdot (OB + OD)$

Так как $AO + OC = p$ и $OB + OD = q$, то:

$P < 2p + 2q \implies P < 2(p+q)$

Теперь проверим заданные условия. По условию, периметр $P = 46$ см. Значит, полупериметр $\frac{P}{2} = 23$ см.

Пусть $p = 23$ см, $q = 24$ см.

Проверим Условие 1 для диагонали $p$:

$p < \frac{P}{2} \implies 23 < \frac{46}{2} \implies 23 < 23$.

Это неравенство является неверным. Поскольку одно из необходимых условий существования четырехугольника не выполняется, такой четырехугольник не существует.

Ответ: не существует.

Пусть $p = 10$ см, $q = 12$ см.

Проверим Условие 1:

Для диагонали $p$: $10 < \frac{46}{2} \implies 10 < 23$. Неравенство верно.

Для диагонали $q$: $12 < \frac{46}{2} \implies 12 < 23$. Неравенство верно.

Первое условие выполняется. Теперь проверим Условие 2:

$P < 2(p+q)$

$46 < 2(10 + 12)$

$46 < 2(22)$

$46 < 44$

Это неравенство является неверным. Так как второе необходимое условие не выполняется, такой четырехугольник также не существует.

Ответ: не существует.