Страница 7 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы точки $M, N$ и $K$ — середины сторон $AB, BC$ и $CD$ соответственно.

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы точки $M$, $N$ и $K$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно.

Для решения задачи воспользуемся методом, который состоит из четырех стандартных этапов решения конструктивных задач: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый параллелограмм $ABCD$ построен. Точки $M$, $N$ и $K$ являются серединами его сторон $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Обозначим радиус-векторы точек $A, B, C, D, M, N, K$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{m}, \vec{n}, \vec{k}$ соответственно.

По определению середины отрезка имеем:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ (1)
$\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ (2)
$\vec{k} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$ (3)

Основное свойство параллелограмма (в векторной форме) заключается в том, что сумма радиус-векторов противолежащих вершин равна: $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$ (4).

Выразим векторы вершин через вектор $\vec{b}$ и векторы заданных точек $M, N, K$:

Из (1) получаем: $\vec{a} = 2\vec{m} - \vec{b}$.

Из (2) получаем: $\vec{c} = 2\vec{n} - \vec{b}$.

Из (3) и выражения для $\vec{c}$ получаем: $\vec{d} = 2\vec{k} - \vec{c} = 2\vec{k} - (2\vec{n} - \vec{b}) = 2\vec{k} - 2\vec{n} + \vec{b}$.

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{a}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ в равенство (4):

$(2\vec{m} - \vec{b}) + (2\vec{n} - \vec{b}) = \vec{b} + (2\vec{k} - 2\vec{n} + \vec{b})$

$2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{b} = 2\vec{b} + 2\vec{k} - 2\vec{n}$

Перенесем слагаемые с $\vec{b}$ в одну сторону, а остальные — в другую:

$4\vec{b} = 2\vec{m} + 4\vec{n} - 2\vec{k}$

Разделив на 2, получим:

$2\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n} - \vec{k}$

Это выражение можно переписать в виде, удобном для геометрического построения:

$\vec{b} = \frac{\vec{m} + (2\vec{n} - \vec{k})}{2}$

Введем вспомогательную точку $X$ с радиус-вектором $\vec{x} = 2\vec{n} - \vec{k}$. Это равенство эквивалентно $\vec{n} = \frac{\vec{k} + \vec{x}}{2}$, что означает, что точка $N$ является серединой отрезка $KX$. Точка $X$ симметрична точке $K$ относительно точки $N$.

Тогда выражение для $\vec{b}$ принимает вид: $\vec{b} = \frac{\vec{m} + \vec{x}}{2}$. Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $MX$.

Таким образом, мы можем построить сначала точку $X$, затем точку $B$, а после этого и все остальные вершины параллелограмма, используя определения точек $M, N, K$.

Построение

1. Соединяем точки $K$ и $N$ отрезком.
2. На луче $KN$ откладываем за точкой $N$ отрезок $NX$, равный отрезку $KN$. Получаем вспомогательную точку $X$. (Точка $X$ симметрична точке $K$ относительно точки $N$).
3. Соединяем точки $M$ и $X$ отрезком.
4. Находим середину отрезка $MX$. Эта точка является вершиной $B$ искомого параллелограмма.
5. Для нахождения вершины $A$ строим точку, симметричную $B$ относительно $M$. (Проводим прямую через $B$ и $M$ и на ее продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MA = BM$).
6. Для нахождения вершины $C$ строим точку, симметричную $B$ относительно $N$. (Проводим прямую через $B$ и $N$ и на ее продолжении за точку $N$ откладываем отрезок $NC = BN$).
7. Для нахождения вершины $D$ строим точку, симметричную $C$ относительно $K$. (Проводим прямую через $C$ и $K$ и на ее продолжении за точку $K$ откладываем отрезок $KD = CK$).
8. Последовательно соединяем точки $A, B, C, D$. Параллелограмм $ABCD$ построен.

Доказательство

По нашему построению, точка $M$ является серединой $AB$, $N$ — серединой $BC$, и $K$ — серединой $CD$. Нам нужно доказать, что построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Из построения имеем:

$N$ — середина $KX \implies \vec{n} = \frac{\vec{k}+\vec{x}}{2} \implies \vec{x} = 2\vec{n}-\vec{k}$.
$B$ — середина $MX \implies \vec{b} = \frac{\vec{m}+\vec{x}}{2} = \frac{\vec{m} + 2\vec{n} - \vec{k}}{2}$.
$M$ — середина $AB \implies \vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} \implies \vec{a} = 2\vec{m}-\vec{b}$.
$N$ — середина $BC \implies \vec{n} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} \implies \vec{c} = 2\vec{n}-\vec{b}$.
$K$ — середина $CD \implies \vec{k} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} \implies \vec{d} = 2\vec{k}-\vec{c}$.

Для доказательства того, что $ABCD$ — параллелограмм, проверим выполнение условия $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$.

Найдем сумму $\vec{a} + \vec{c}$:

$\vec{a} + \vec{c} = (2\vec{m} - \vec{b}) + (2\vec{n} - \vec{b}) = 2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{b}$.

Найдем сумму $\vec{b} + \vec{d}$:

$\vec{b} + \vec{d} = \vec{b} + (2\vec{k} - \vec{c}) = \vec{b} + 2\vec{k} - (2\vec{n} - \vec{b}) = 2\vec{b} + 2\vec{k} - 2\vec{n}$.

Теперь сравним выражения. Равенство $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$ будет верным, если:

$2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{b} = 2\vec{b} + 2\vec{k} - 2\vec{n}$

$4\vec{b} = 2\vec{m} + 4\vec{n} - 2\vec{k}$

$2\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n} - \vec{k}$

Это в точности соответствует выражению для $\vec{b}$, которое мы получили из нашего построения. Следовательно, построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, и точки $M, N, K$ по построению являются серединами его сторон. Доказательство завершено.

Исследование

Все шаги построения выполняются однозначно. Для любых трех точек $M, N, K$ на плоскости можно построить точку $X$, затем точку $B$ и остальные вершины. Таким образом, задача всегда имеет решение.

Рассмотрим особый случай: если точка $N$ является серединой отрезка $MK$. В этом случае $\vec{n} = \frac{\vec{m}+\vec{k}}{2}$, или $2\vec{n} = \vec{m}+\vec{k}$.
Точка $X$, симметричная $K$ относительно $N$, совпадет с точкой $M$ ($ \vec{x} = 2\vec{n}-\vec{k} = (\vec{m}+\vec{k}) - \vec{k} = \vec{m} $).
Тогда точка $B$, как середина $MX$, совпадет с $M$ и $X$. Если $B=M$, то и $A=M$. Если $C=K$, то и $D=K$. Параллелограмм вырождается в отрезок $MK$.
В общем случае, когда $N$ не является серединой $MK$, решение существует и единственно.

Ответ: Алгоритм построения параллелограмма $ABCD$ по заданным серединам $M, N, K$ его сторон $AB, BC, CD$ соответственно, состоит в следующем:1. Строится точка $X$, симметричная точке $K$ относительно точки $N$.2. Строится точка $B$ как середина отрезка $MX$.3. Строится вершина $A$ как точка, симметричная $B$ относительно $M$.4. Строится вершина $C$ как точка, симметричная $B$ относительно $N$.5. Строится вершина $D$ как точка, симметричная $C$ относительно $K$.Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

27. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершины $A$ и $B$ и точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

27. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы его вершины $A$ и $B$ и точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Для построения параллелограмма $ABCD$ по заданным вершинам $A$, $B$ и точке пересечения диагоналей $O$ используется основное свойство диагоналей параллелограмма: они точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$.

Исходя из этого свойства, алгоритм построения недостающих вершин $C$ и $D$ будет следующим:

1. Соединяем точку $A$ с точкой $O$ и продолжаем этот отрезок за точку $O$. На этом продолжении откладываем отрезок $OC$, равный по длине отрезку $AO$. Полученная точка $C$ является третьей вершиной параллелограмма. Таким образом, точка $C$ симметрична точке $A$ относительно точки $O$.

2. Аналогично, соединяем точку $B$ с точкой $O$ и продолжаем этот отрезок за точку $O$. На этом продолжении откладываем отрезок $OD$, равный по длине отрезку $BO$. Полученная точка $D$ является четвертой вершиной параллелограмма. Таким образом, точка $D$ симметрична точке $B$ относительно точки $O$.

3. Последовательно соединяем отрезками точки $A, B, C$ и $D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом, поскольку по построению его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO = OC$ и $BO = OD$), что является признаком параллелограмма.

Ответ: Чтобы построить параллелограмм, необходимо найти вершины $C$ и $D$. Вершина $C$ является точкой, симметричной вершине $A$ относительно точки $O$. Вершина $D$ является точкой, симметричной вершине $B$ относительно точки $O$. После нахождения вершин $C$ и $D$ следует соединить все четыре вершины $A, B, C, D$ последовательно.

28. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны. Какому условию должны удовлетворять стороны $BC$ и $AD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

28. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны. Какому условию должны удовлетворять стороны $BC$ и $AD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

Для того чтобы четырёхугольник был параллелограммом, он должен удовлетворять одному из признаков параллелограмма. Один из ключевых признаков гласит: если в выпуклом четырёхугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

В данном четырёхугольнике $ABCD$ противолежащими сторонами являются пары $AB$ и $CD$, а также $BC$ и $AD$. По условию задачи нам дано, что одна пара противолежащих сторон равна: $AB = CD$.

Чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом согласно указанному признаку, необходимо, чтобы и вторая пара противолежащих сторон, $BC$ и $AD$, также была равна. Таким образом, искомое условие — это равенство сторон $BC$ и $AD$, то есть $BC = AD$.

Докажем, что это условие является достаточным. Предположим, что в четырёхугольнике $ABCD$ выполнены условия $AB = CD$ и $BC = AD$. Проведём диагональ $AC$. Она разделяет четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сравним эти треугольники. У них сторона $AC$ — общая, $AB = CD$ по исходному условию, и $BC = AD$ по нашему дополнительному условию. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BCA = \angle DAC$ и $\angle BAC = \angle DCA$.

Пара углов $\angle BCA$ и $\angle DAC$ является накрест лежащими углами при пересечении прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Аналогично, пара углов $\angle BAC$ и $\angle DCA$ является накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$. Их равенство означает, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Поскольку в четырёхугольнике $ABCD$ обе пары противолежащих сторон параллельны, он является параллелограммом по определению. Таким образом, условие $BC = AD$ является достаточным.

Следует отметить, что другое возможное условие на стороны $BC$ и $AD$, их параллельность ($BC \parallel AD$), не является достаточным. Если взять равнобокую трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, то в ней $BC \parallel AD$ и боковые стороны $AB = CD$. Однако равнобокая трапеция не является параллелограммом (за исключением частного случая, когда она является прямоугольником, но тогда и $BC=AD$). Это показывает, что одного лишь условия параллельности сторон $BC$ и $AD$ недостаточно.

Ответ: стороны $BC$ и $AD$ должны быть равны ($BC=AD$).

29. В четырёхугольнике $ABCD$ (рис. 4) $AO = OC$, $\angle BAC = \angle ACD$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 4

29. В четырёхугольнике ABCD (рис. 4) $AO = OC$, $\angle BAC = \angle ACD$. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 4

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, образованные пересечением диагоналей AC и BD в точке O.

По условию задачи дано:

1. $AO = OC$
2. $\angle BAC = \angle ACD$

Сравним треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$:

• $AO = OC$ (по условию).
• $\angle OAB = \angle OCD$ (по условию, так как это те же углы, что и $\angle BAC$ и $\angle ACD$).
• $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $OB = OD$.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD в точке пересечения O делятся пополам, поскольку:

• $AO = OC$ (по условию)
• $OB = OD$ (доказано выше)

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник ABCD — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

30. На рисунке 5 четырёхугольник $AFCE$ — параллелограмм. На прямой $FE$ отметили точки $B$ и $D$ так, что $FB = ED$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 5

30. На рисунке 5 четырёхугольник $AFCE$ — параллелограмм. На прямой $FE$ отметили точки $B$ и $D$ так, что $FB = ED$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 5

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся одним из признаков параллелограмма: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

1. По условию задачи, четырехугольник AFCE — параллелограмм. Диагонали параллелограмма обладают свойством делиться точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей AC и FE буквой O. Тогда, исходя из этого свойства, мы можем записать следующие равенства:
$AO = OC$
$FO = OE$

2. В условии сказано, что точки B, F, E и D лежат на одной прямой. Это означает, что точка O, которая является серединой отрезка FE, также лежит на прямой, содержащей отрезок BD. Таким образом, точка O является точкой пересечения диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD.

3. Мы уже знаем, что диагональ AC делится точкой O пополам. Теперь нам нужно доказать, что и диагональ BD делится точкой O пополам, то есть что $BO = DO$.

4. Рассмотрим длины отрезков BO и DO. Судя по расположению точек на прямой, мы можем выразить их длины через другие отрезки:
Длина отрезка BO равна сумме длин отрезков BF и FO: $BO = BF + FO$.
Длина отрезка DO равна сумме длин отрезков DE и EO: $DO = DE + EO$.

5. По условию задачи нам дано равенство $BF = ED$. Из свойства параллелограмма AFCE мы знаем, что $FO = OE$.

6. Сравним выражения для длин отрезков BO и DO. Поскольку $BF = ED$ и $FO = OE$, то правые части выражений для BO и DO равны: $BF + FO = ED + OE$.

7. Из равенства правых частей следует и равенство левых частей: $BO = DO$.

8. Таким образом, мы установили, что в четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам ($AO = OC$ и $BO = DO$).

9. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

31. На рисунке 6 $AB = A_1B_1, BC = B_1C_1, AC = A_1C_1$. Найдите отрезок $BB_1$, если $AC_1 = 18$ см, $A_1C = 10$ см.

Рис. 6

(Изображение двух треугольников с вершинами A, A₁, B, B₁, C, C₁, где A, A₁, C, C₁ расположены на одной прямой)

31. На рисунке 6 $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Найдите отрезок $BB_1$, если $AC_1 = 18$ см, $A_1C = 10$ см.

Рис. 6

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По условию задачи известно, что их стороны соответственно равны:

$AB = A_1B_1$

$BC = B_1C_1$

$AC = A_1C_1$

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Эти углы являются соответственными при прямых $AB$ и $A_1B_1$ и секущей $AC_1$. Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны: $AB \parallel A_1B_1$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. У него стороны $AB$ и $A_1B_1$ равны по условию и параллельны, как мы только что доказали. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Значит, $ABB_1A_1$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BB_1 = AA_1$. Чтобы найти $BB_1$, нам нужно найти длину отрезка $AA_1$.

Точки $A, A_1, C, C_1$ лежат на одной прямой. Из условия и рисунка можно составить следующие равенства для длин отрезков:

$AC = AA_1 + A_1C$

$A_1C_1 = A_1C + CC_1$

Так как по условию $AC = A_1C_1$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$AA_1 + A_1C = A_1C + CC_1$

Вычтем из обеих частей равенства $A_1C$ и получим:

$AA_1 = CC_1$

Длина всего отрезка $AC_1$ равна сумме длин составляющих его отрезков:

$AC_1 = AA_1 + A_1C + CC_1$

Поскольку $AA_1 = CC_1$, мы можем заменить $CC_1$ на $AA_1$ в этом выражении:

$AC_1 = AA_1 + A_1C + AA_1 = 2 \cdot AA_1 + A_1C$

Подставим известные из условия значения $AC_1 = 18$ см и $A_1C = 10$ см:

$18 = 2 \cdot AA_1 + 10$

Решим полученное уравнение:

$2 \cdot AA_1 = 18 - 10$

$2 \cdot AA_1 = 8$

$AA_1 = 8 / 2 = 4$ см.

Так как $BB_1 = AA_1$, то $BB_1 = 4$ см.

Ответ: 4 см.