Номер 26, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы точки $M, N$ и $K$ — середины сторон $AB, BC$ и $CD$ соответственно.

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы точки $M$, $N$ и $K$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно.

Для решения задачи воспользуемся методом, который состоит из четырех стандартных этапов решения конструктивных задач: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что искомый параллелограмм $ABCD$ построен. Точки $M$, $N$ и $K$ являются серединами его сторон $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Обозначим радиус-векторы точек $A, B, C, D, M, N, K$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{m}, \vec{n}, \vec{k}$ соответственно.

По определению середины отрезка имеем:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ (1)
$\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ (2)
$\vec{k} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$ (3)

Основное свойство параллелограмма (в векторной форме) заключается в том, что сумма радиус-векторов противолежащих вершин равна: $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$ (4).

Выразим векторы вершин через вектор $\vec{b}$ и векторы заданных точек $M, N, K$:

Из (1) получаем: $\vec{a} = 2\vec{m} - \vec{b}$.

Из (2) получаем: $\vec{c} = 2\vec{n} - \vec{b}$.

Из (3) и выражения для $\vec{c}$ получаем: $\vec{d} = 2\vec{k} - \vec{c} = 2\vec{k} - (2\vec{n} - \vec{b}) = 2\vec{k} - 2\vec{n} + \vec{b}$.

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{a}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ в равенство (4):

$(2\vec{m} - \vec{b}) + (2\vec{n} - \vec{b}) = \vec{b} + (2\vec{k} - 2\vec{n} + \vec{b})$

$2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{b} = 2\vec{b} + 2\vec{k} - 2\vec{n}$

Перенесем слагаемые с $\vec{b}$ в одну сторону, а остальные — в другую:

$4\vec{b} = 2\vec{m} + 4\vec{n} - 2\vec{k}$

Разделив на 2, получим:

$2\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n} - \vec{k}$

Это выражение можно переписать в виде, удобном для геометрического построения:

$\vec{b} = \frac{\vec{m} + (2\vec{n} - \vec{k})}{2}$

Введем вспомогательную точку $X$ с радиус-вектором $\vec{x} = 2\vec{n} - \vec{k}$. Это равенство эквивалентно $\vec{n} = \frac{\vec{k} + \vec{x}}{2}$, что означает, что точка $N$ является серединой отрезка $KX$. Точка $X$ симметрична точке $K$ относительно точки $N$.

Тогда выражение для $\vec{b}$ принимает вид: $\vec{b} = \frac{\vec{m} + \vec{x}}{2}$. Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $MX$.

Таким образом, мы можем построить сначала точку $X$, затем точку $B$, а после этого и все остальные вершины параллелограмма, используя определения точек $M, N, K$.

Построение

1. Соединяем точки $K$ и $N$ отрезком.
2. На луче $KN$ откладываем за точкой $N$ отрезок $NX$, равный отрезку $KN$. Получаем вспомогательную точку $X$. (Точка $X$ симметрична точке $K$ относительно точки $N$).
3. Соединяем точки $M$ и $X$ отрезком.
4. Находим середину отрезка $MX$. Эта точка является вершиной $B$ искомого параллелограмма.
5. Для нахождения вершины $A$ строим точку, симметричную $B$ относительно $M$. (Проводим прямую через $B$ и $M$ и на ее продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MA = BM$).
6. Для нахождения вершины $C$ строим точку, симметричную $B$ относительно $N$. (Проводим прямую через $B$ и $N$ и на ее продолжении за точку $N$ откладываем отрезок $NC = BN$).
7. Для нахождения вершины $D$ строим точку, симметричную $C$ относительно $K$. (Проводим прямую через $C$ и $K$ и на ее продолжении за точку $K$ откладываем отрезок $KD = CK$).
8. Последовательно соединяем точки $A, B, C, D$. Параллелограмм $ABCD$ построен.

Доказательство

По нашему построению, точка $M$ является серединой $AB$, $N$ — серединой $BC$, и $K$ — серединой $CD$. Нам нужно доказать, что построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Из построения имеем:

$N$ — середина $KX \implies \vec{n} = \frac{\vec{k}+\vec{x}}{2} \implies \vec{x} = 2\vec{n}-\vec{k}$.
$B$ — середина $MX \implies \vec{b} = \frac{\vec{m}+\vec{x}}{2} = \frac{\vec{m} + 2\vec{n} - \vec{k}}{2}$.
$M$ — середина $AB \implies \vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} \implies \vec{a} = 2\vec{m}-\vec{b}$.
$N$ — середина $BC \implies \vec{n} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} \implies \vec{c} = 2\vec{n}-\vec{b}$.
$K$ — середина $CD \implies \vec{k} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} \implies \vec{d} = 2\vec{k}-\vec{c}$.

Для доказательства того, что $ABCD$ — параллелограмм, проверим выполнение условия $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$.

Найдем сумму $\vec{a} + \vec{c}$:

$\vec{a} + \vec{c} = (2\vec{m} - \vec{b}) + (2\vec{n} - \vec{b}) = 2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{b}$.

Найдем сумму $\vec{b} + \vec{d}$:

$\vec{b} + \vec{d} = \vec{b} + (2\vec{k} - \vec{c}) = \vec{b} + 2\vec{k} - (2\vec{n} - \vec{b}) = 2\vec{b} + 2\vec{k} - 2\vec{n}$.

Теперь сравним выражения. Равенство $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$ будет верным, если:

$2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{b} = 2\vec{b} + 2\vec{k} - 2\vec{n}$

$4\vec{b} = 2\vec{m} + 4\vec{n} - 2\vec{k}$

$2\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n} - \vec{k}$

Это в точности соответствует выражению для $\vec{b}$, которое мы получили из нашего построения. Следовательно, построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, и точки $M, N, K$ по построению являются серединами его сторон. Доказательство завершено.

Исследование

Все шаги построения выполняются однозначно. Для любых трех точек $M, N, K$ на плоскости можно построить точку $X$, затем точку $B$ и остальные вершины. Таким образом, задача всегда имеет решение.

Рассмотрим особый случай: если точка $N$ является серединой отрезка $MK$. В этом случае $\vec{n} = \frac{\vec{m}+\vec{k}}{2}$, или $2\vec{n} = \vec{m}+\vec{k}$.
Точка $X$, симметричная $K$ относительно $N$, совпадет с точкой $M$ ($ \vec{x} = 2\vec{n}-\vec{k} = (\vec{m}+\vec{k}) - \vec{k} = \vec{m} $).
Тогда точка $B$, как середина $MX$, совпадет с $M$ и $X$. Если $B=M$, то и $A=M$. Если $C=K$, то и $D=K$. Параллелограмм вырождается в отрезок $MK$.
В общем случае, когда $N$ не является серединой $MK$, решение существует и единственно.

Ответ: Алгоритм построения параллелограмма $ABCD$ по заданным серединам $M, N, K$ его сторон $AB, BC, CD$ соответственно, состоит в следующем:1. Строится точка $X$, симметричная точке $K$ относительно точки $N$.2. Строится точка $B$ как середина отрезка $MX$.3. Строится вершина $A$ как точка, симметричная $B$ относительно $M$.4. Строится вершина $C$ как точка, симметричная $B$ относительно $N$.5. Строится вершина $D$ как точка, симметричная $C$ относительно $K$.Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.