Номер 32, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. Диагонали прямоугольника ABCD (рис. 7) пересекаются в точке O, $ \angle AOD = 70^\circ $. Найдите угол OCD.

Рис. 7

32. Диагонали прямоугольника ABCD (рис. 7) пересекаются в точке O, $\angle AOD = 70^\circ$. Найдите $\angle OCD$.

Рис. 7

По свойствам прямоугольника, его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки, на которые точка пересечения делит диагонали, равны между собой: $AO = OC = BO = OD$.

Рассмотрим треугольник $OCD$. Так как $OC = OD$, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle OCD = \angle ODC$.

Углы $\angle AOD$ и $\angle DOC$ являются смежными, поскольку они образуются при пересечении двух прямых (диагоналей) и их стороны $OA$ и $OC$ лежат на одной прямой $AC$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$.

Зная, что по условию $\angle AOD = 70^\circ$, мы можем найти величину угла $\angle DOC$:

$\angle DOC = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Теперь рассмотрим сумму углов в треугольнике $OCD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle OCD + \angle ODC + \angle DOC = 180^\circ$

Так как $\angle OCD = \angle ODC$, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$2 \cdot \angle OCD + \angle DOC = 180^\circ$

Подставим найденное значение угла $\angle DOC$:

$2 \cdot \angle OCD + 110^\circ = 180^\circ$

Теперь решим уравнение относительно $\angle OCD$:

$2 \cdot \angle OCD = 180^\circ - 110^\circ$

$2 \cdot \angle OCD = 70^\circ$

$\angle OCD = \frac{70^\circ}{2}$

$\angle OCD = 35^\circ$

Ответ: $35^\circ$.