Номер 28, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны. Какому условию должны удовлетворять стороны $BC$ и $AD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

28. В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны. Какому условию должны удовлетворять стороны $BC$ и $AD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

Для того чтобы четырёхугольник был параллелограммом, он должен удовлетворять одному из признаков параллелограмма. Один из ключевых признаков гласит: если в выпуклом четырёхугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

В данном четырёхугольнике $ABCD$ противолежащими сторонами являются пары $AB$ и $CD$, а также $BC$ и $AD$. По условию задачи нам дано, что одна пара противолежащих сторон равна: $AB = CD$.

Чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом согласно указанному признаку, необходимо, чтобы и вторая пара противолежащих сторон, $BC$ и $AD$, также была равна. Таким образом, искомое условие — это равенство сторон $BC$ и $AD$, то есть $BC = AD$.

Докажем, что это условие является достаточным. Предположим, что в четырёхугольнике $ABCD$ выполнены условия $AB = CD$ и $BC = AD$. Проведём диагональ $AC$. Она разделяет четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сравним эти треугольники. У них сторона $AC$ — общая, $AB = CD$ по исходному условию, и $BC = AD$ по нашему дополнительному условию. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BCA = \angle DAC$ и $\angle BAC = \angle DCA$.

Пара углов $\angle BCA$ и $\angle DAC$ является накрест лежащими углами при пересечении прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Аналогично, пара углов $\angle BAC$ и $\angle DCA$ является накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$. Их равенство означает, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Поскольку в четырёхугольнике $ABCD$ обе пары противолежащих сторон параллельны, он является параллелограммом по определению. Таким образом, условие $BC = AD$ является достаточным.

Следует отметить, что другое возможное условие на стороны $BC$ и $AD$, их параллельность ($BC \parallel AD$), не является достаточным. Если взять равнобокую трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, то в ней $BC \parallel AD$ и боковые стороны $AB = CD$. Однако равнобокая трапеция не является параллелограммом (за исключением частного случая, когда она является прямоугольником, но тогда и $BC=AD$). Это показывает, что одного лишь условия параллельности сторон $BC$ и $AD$ недостаточно.

Ответ: стороны $BC$ и $AD$ должны быть равны ($BC=AD$).