Номер 31, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. На рисунке 6 $AB = A_1B_1, BC = B_1C_1, AC = A_1C_1$. Найдите отрезок $BB_1$, если $AC_1 = 18$ см, $A_1C = 10$ см.

Рис. 6

(Изображение двух треугольников с вершинами A, A₁, B, B₁, C, C₁, где A, A₁, C, C₁ расположены на одной прямой)

31. На рисунке 6 $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Найдите отрезок $BB_1$, если $AC_1 = 18$ см, $A_1C = 10$ см.

Рис. 6

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По условию задачи известно, что их стороны соответственно равны:

$AB = A_1B_1$

$BC = B_1C_1$

$AC = A_1C_1$

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Эти углы являются соответственными при прямых $AB$ и $A_1B_1$ и секущей $AC_1$. Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны: $AB \parallel A_1B_1$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. У него стороны $AB$ и $A_1B_1$ равны по условию и параллельны, как мы только что доказали. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Значит, $ABB_1A_1$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BB_1 = AA_1$. Чтобы найти $BB_1$, нам нужно найти длину отрезка $AA_1$.

Точки $A, A_1, C, C_1$ лежат на одной прямой. Из условия и рисунка можно составить следующие равенства для длин отрезков:

$AC = AA_1 + A_1C$

$A_1C_1 = A_1C + CC_1$

Так как по условию $AC = A_1C_1$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$AA_1 + A_1C = A_1C + CC_1$

Вычтем из обеих частей равенства $A_1C$ и получим:

$AA_1 = CC_1$

Длина всего отрезка $AC_1$ равна сумме длин составляющих его отрезков:

$AC_1 = AA_1 + A_1C + CC_1$

Поскольку $AA_1 = CC_1$, мы можем заменить $CC_1$ на $AA_1$ в этом выражении:

$AC_1 = AA_1 + A_1C + AA_1 = 2 \cdot AA_1 + A_1C$

Подставим известные из условия значения $AC_1 = 18$ см и $A_1C = 10$ см:

$18 = 2 \cdot AA_1 + 10$

Решим полученное уравнение:

$2 \cdot AA_1 = 18 - 10$

$2 \cdot AA_1 = 8$

$AA_1 = 8 / 2 = 4$ см.

Так как $BB_1 = AA_1$, то $BB_1 = 4$ см.

Ответ: 4 см.