Номер 25, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Найдите периметр полученного параллелограмма, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см.

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Найдите периметр полученного параллелограмма, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$. По условию, длина боковой стороны равна 6 см, то есть $AB = BC = 6$ см.

На основании $AC$ выбрана произвольная точка $D$. Через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает сторону $AB$ в точке $F$. Таким образом, $DF \parallel BC$. Также через точку $D$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Таким образом, $DE \parallel AB$.

Четырехугольник $FBED$ является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны попарно параллельны по построению ($DF \parallel BE$ и $DE \parallel FB$).

Требуется найти периметр этого параллелограмма $P_{FBED}$. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме его смежных сторон: $P_{FBED} = 2(DF + FB)$.

Рассмотрим свойства углов в исходном треугольнике и при параллельных прямых.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим параллельные прямые $DF$ и $BC$ и секущую $AC$. Соответственные углы при этих прямых равны: $\angle DFA = \angle BCA$. Но так как $\angle BAC = \angle BCA$, то получаем, что в треугольнике $AFD$ углы при стороне $AD$ равны: $\angle FAD = \angle FDA$.

Это означает, что треугольник $AFD$ — равнобедренный, и, следовательно, $AF = DF$.

Теперь подставим это в формулу периметра параллелограмма:

$P_{FBED} = 2(DF + FB) = 2(AF + FB)$.

Сумма отрезков $AF$ и $FB$ составляет всю боковую сторону $AB$: $AF + FB = AB$.

Следовательно, периметр параллелограмма равен:

$P_{FBED} = 2 \times AB$.

По условию задачи, боковая сторона $AB$ равна 6 см. Вычисляем периметр:

$P_{FBED} = 2 \times 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.