Номер 23, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Два угла параллелограмма относятся как 1 : 5. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла.

23. Два угла параллелограмма относятся как $1 : 5$. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла.

Пусть два соседних угла параллелограмма равны $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллелограмма, сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$. Противоположные углы в параллелограмме равны.

По условию, два угла относятся как $1:5$. Так как противоположные углы равны, их отношение было бы $1:1$. Следовательно, речь идет о соседних углах. Пусть $\alpha$ - меньший угол, а $\beta$ - больший. Тогда мы можем записать их отношение как:

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{5}$, откуда $\beta = 5\alpha$.

Подставим это выражение в формулу суммы соседних углов:

$\alpha + 5\alpha = 180^\circ$

$6\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$

Таким образом, острый угол параллелограмма равен $30^\circ$.

Больший, тупой угол равен $\beta = 5\alpha = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Теперь нам нужно найти угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла. Пусть параллелограмм называется $ABCD$, и острый угол находится в вершине $A$, то есть $\angle A = 30^\circ$. Смежные с ним углы $\angle B$ и $\angle D$ будут тупыми, равными $150^\circ$.

Проведем из вершины $A$ две высоты: $AH_1$ на прямую, содержащую сторону $BC$, и $AH_2$ на прямую, содержащую сторону $CD$. Мы ищем угол $\angle H_1AH_2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABH_1$. Так как угол $\angle B$ тупой ($150^\circ$), высота $AH_1$ падает на продолжение стороны $BC$. Угол $\angle ABH_1$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH_1 = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Треугольник $\triangle ABH_1$ прямоугольный ($\angle AH_1B = 90^\circ$), следовательно, угол $\angle BAH_1 = 90^\circ - \angle ABH_1 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle ADH_2$. Так как угол $\angle D$ тупой ($150^\circ$), высота $AH_2$ падает на продолжение стороны $CD$. Угол $\angle ADH_2$ является смежным с углом $\angle ADC$, поэтому $\angle ADH_2 = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Треугольник $\triangle ADH_2$ прямоугольный ($\angle AH_2D = 90^\circ$), следовательно, угол $\angle DAH_2 = 90^\circ - \angle ADH_2 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Искомый угол между высотами $\angle H_1AH_2$ складывается из трех углов при вершине $A$: угла $\angle BAH_1$, острого угла параллелограмма $\angle DAB$ и угла $\angle DAH_2$.

$\angle H_1AH_2 = \angle BAH_1 + \angle DAB + \angle DAH_2 = 60^\circ + 30^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.

Таким образом, угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Ответ: $150^\circ$.