Номер 19, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите сторону $AB$ параллелограмма, если $OA = 8$ см и $\angle ABO = 30^{\circ}$.

19. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите сторону $AB$ параллелограмма, если $OA = 8 \text{ см}$ и $\angle ABO = 30^\circ$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию, $AO$ и $BO$ являются биссектрисами углов $A$ и $B$ соответственно. Нам известно, что $OA = 8$ см и $\angle ABO = 30^{\circ}$.

Поскольку $BO$ является биссектрисой угла $B$ (угла $\angle ABC$), она делит его на два равных угла. Таким образом, величина всего угла $B$ равна удвоенной величине угла $\angle ABO$:

$\angle B = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^{\circ}$. Углы $A$ и $B$ прилежат к стороне $AB$, следовательно:

$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$

Отсюда мы можем найти величину угла $A$:

$\angle A = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

По условию, $AO$ является биссектрисой угла $A$, поэтому она делит его пополам:

$\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Мы знаем два его угла: $\angle OAB = 60^{\circ}$ и $\angle ABO = 30^{\circ}$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому мы можем найти третий угол, $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle ABO) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Так как угол $\angle AOB$ равен $90^{\circ}$, треугольник $AOB$ является прямоугольным, где $AB$ — гипотенуза, а $OA$ и $OB$ — катеты.

В прямоугольном треугольнике $AOB$ катет $OA$ лежит напротив угла $\angle ABO = 30^{\circ}$. Известно свойство, что катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. То есть:

$OA = \frac{1}{2} AB$

Подставим известное значение $OA = 8$ см и найдем длину $AB$:

$8 = \frac{1}{2} AB$

$AB = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Также можно использовать определение синуса:

$\sin(\angle ABO) = \frac{OA}{AB}$

$\sin(30^{\circ}) = \frac{8}{AB}$

$\frac{1}{2} = \frac{8}{AB} \implies AB = 16$ см.

Ответ: 16 см.