Номер 14, страница 5 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $46^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $186^\circ$;

3) один из его углов на $56^\circ$ больше другого;

4) один из его углов в 3 раза меньше другого;

5) два его угла относятся как $5 : 7$.

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $46^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $186^\circ$;

3) один из его углов на $56^\circ$ больше другого;

4) один из его углов в 3 раза меньше другого;

5) два его угла относятся как $5:7$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма:

• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

1) один из его углов равен 46°

Пусть один из углов параллелограмма равен $46^\circ$. Этот угол является острым. В параллелограмме есть два равных острых угла и два равных тупых угла.
Следовательно, один угол равен $46^\circ$, и противоположный ему угол также равен $46^\circ$.
Найдем соседний (тупой) угол. Сумма соседних углов равна $180^\circ$.
Второй угол равен $180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$.
Противоположный ему угол также равен $134^\circ$.
Таким образом, углы параллелограмма: два по $46^\circ$ и два по $134^\circ$.
Ответ: $46^\circ, 134^\circ, 46^\circ, 134^\circ$.

2) сумма двух его углов равна 186°

Рассмотрим, какими могут быть эти два угла.
Если бы углы были соседними, их сумма была бы равна $180^\circ$. По условию сумма равна $186^\circ$, значит, эти углы не соседние.
Следовательно, эти углы — противоположные. Противоположные углы параллелограмма равны.
Пусть величина каждого из этих углов равна $\alpha$. Тогда:
$\alpha + \alpha = 186^\circ$
$2\alpha = 186^\circ$
$\alpha = 93^\circ$
Итак, два противоположных угла равны по $93^\circ$.
Найдем два других угла. Пусть соседний угол равен $\beta$.
$\beta = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ$.
Два других противоположных угла равны по $87^\circ$.
Углы параллелограмма: $87^\circ, 93^\circ, 87^\circ, 93^\circ$.
Ответ: $87^\circ, 93^\circ, 87^\circ, 93^\circ$.

3) один из его углов на 56° больше другого

Так как противоположные углы равны, эта разница может быть только между соседними углами.
Пусть один угол равен $x$, тогда соседний с ним угол равен $x + 56^\circ$.
Сумма соседних углов равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 56^\circ) = 180^\circ$
$2x + 56^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 56^\circ$
$2x = 124^\circ$
$x = 62^\circ$
Один угол равен $62^\circ$, а второй — $62^\circ + 56^\circ = 118^\circ$.
Углы параллелограмма: $62^\circ, 118^\circ, 62^\circ, 118^\circ$.
Ответ: $62^\circ, 118^\circ, 62^\circ, 118^\circ$.

4) один из его углов в 3 раза меньше другого

Это условие может выполняться только для соседних углов, так как противоположные углы равны.
Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший соседний угол равен $3x$.
Сумма этих углов равна $180^\circ$.
$x + 3x = 180^\circ$
$4x = 180^\circ$
$x = 180^\circ / 4 = 45^\circ$
Меньший угол равен $45^\circ$, а больший — $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
Углы параллелограмма: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

5) два его угла относятся как 5 : 7

Отношение противоположных углов равно 1:1, так как они равны. Значит, речь идет о соседних углах.
Пусть один угол равен $5x$, а второй — $7x$.
Их сумма равна $180^\circ$.
$5x + 7x = 180^\circ$
$12x = 180^\circ$
$x = 180^\circ / 12 = 15^\circ$
Найдем углы:
Первый угол: $5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$.
Второй угол: $7 \cdot 15^\circ = 105^\circ$.
Углы параллелограмма: $75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ$.
Ответ: $75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ$.