Номер 7, страница 4 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, а диагональ $BD$ образует со сторонами $BA$ и $BC$ равные углы. Докажите, что $AD = DC$.

7. В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, а диагональ $BD$ образует со сторонами $BA$ и $BC$ равные углы. Докажите, что $AD = DC$.

Пусть диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$.По условию задачи, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$. Это означает, что все углы, образованные при их пересечении, являются прямыми: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.Также по условию, диагональ $BD$ образует со сторонами $BA$ и $BC$ равные углы, то есть $\angle ABD = \angle CBD$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$.В этих треугольниках:1. Катет $BO$ является общим.2. Прилежащий к нему острый угол $\angle ABO$ равен острому углу $\angle CBO$ по условию.Следовательно, треугольник $\triangle ABO$ равен треугольнику $\triangle CBO$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов: $AO = CO$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle CDO$.В этих треугольниках:1. Катет $AO$ равен катету $CO$ (как доказано выше).2. Катет $DO$ является общим.Следовательно, треугольник $\triangle ADO$ равен треугольнику $\triangle CDO$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), что также соответствует первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, так как $\angle AOD = \angle COD = 90^\circ$).Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих гипотенуз: $AD = DC$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = DC$ доказано.