Номер 10, страница 4 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Существует ли четырёхугольник, периметр которого равен 46 см, а диагонали равны:

1) 23 см и 24 см;

2) 10 см и 12 см?

10. Существует ли четырёхугольник, периметр которого равен 46 см, а диагонали равны:

1) 23 см и 24 см;

2) 10 см и 12 см?

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами выпуклого четырехугольника, которые следуют из неравенства треугольника.

Пусть стороны четырехугольника равны $a, b, c, d$, а его диагонали — $p$ и $q$. Периметр четырехугольника $P = a + b + c + d$.

Для существования выпуклого четырехугольника должны выполняться два основных условия, связывающих его стороны и диагонали.

Условие 1: Каждая диагональ выпуклого четырехугольника меньше его полупериметра.

Рассмотрим диагональ $p$. Она делит четырехугольник на два треугольника со сторонами ($a, b, p$) и ($c, d, p$). Согласно неравенству треугольника для каждого из них:

$a + b > p$

$c + d > p$

Сложив эти два неравенства, получаем:

$(a + b) + (c + d) > p + p \implies P > 2p \implies p < \frac{P}{2}$

Аналогично для диагонали $q$, которая делит четырехугольник на треугольники со сторонами ($a, d, q$) и ($b, c, q$), получаем:

$a + d > q$

$b + c > q$

Сложение этих неравенств дает:

$(a + d) + (b + c) > q + q \implies P > 2q \implies q < \frac{P}{2}$

Условие 2: Периметр выпуклого четырехугольника меньше удвоенной суммы его диагоналей.

Пусть диагонали $p$ (AC) и $q$ (BD) пересекаются в точке O. Они делят четырехугольник на четыре треугольника: AOB, BOC, COD, DOA. Применим к каждому из них неравенство треугольника:

Сторона $a$ (AB) $< AO + OB$

Сторона $b$ (BC) $< OB + OC$

Сторона $c$ (CD) $< OC + OD$

Сторона $d$ (DA) $< OD + OA$

Сложив эти четыре неравенства, получим:

$a + b + c + d < (AO + OB) + (OB + OC) + (OC + OD) + (OD + OA)$

$P < 2 \cdot AO + 2 \cdot OB + 2 \cdot OC + 2 \cdot OD$

$P < 2 \cdot (AO + OC) + 2 \cdot (OB + OD)$

Так как $AO + OC = p$ и $OB + OD = q$, то:

$P < 2p + 2q \implies P < 2(p+q)$

Теперь проверим заданные условия. По условию, периметр $P = 46$ см. Значит, полупериметр $\frac{P}{2} = 23$ см.

Пусть $p = 23$ см, $q = 24$ см.

Проверим Условие 1 для диагонали $p$:

$p < \frac{P}{2} \implies 23 < \frac{46}{2} \implies 23 < 23$.

Это неравенство является неверным. Поскольку одно из необходимых условий существования четырехугольника не выполняется, такой четырехугольник не существует.

Ответ: не существует.

Пусть $p = 10$ см, $q = 12$ см.

Проверим Условие 1:

Для диагонали $p$: $10 < \frac{46}{2} \implies 10 < 23$. Неравенство верно.

Для диагонали $q$: $12 < \frac{46}{2} \implies 12 < 23$. Неравенство верно.

Первое условие выполняется. Теперь проверим Условие 2:

$P < 2(p+q)$

$46 < 2(10 + 12)$

$46 < 2(22)$

$46 < 44$

Это неравенство является неверным. Так как второе необходимое условие не выполняется, такой четырехугольник также не существует.

Ответ: не существует.