Страница 5 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 1) $ \angle 1 = \angle 2 $, $ \angle 3 = \angle 4 $. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 1

11. В четырёхугольнике $ABCD$ (рис. 1) $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$.

Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 1

Для доказательства того, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, мы используем признак параллельности прямых и определение параллелограмма. Рассмотрим диагональ $BD$ как секущую.

1. Сначала рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ и секущую $BD$. Углы $\angle 1$ ($\angle ABD$) и $\angle 2$ ($\angle CDB$) являются внутренними накрест лежащими углами. По условию задачи, $\angle 1 = \angle 2$. Согласно признаку параллельности двух прямых, если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Отсюда следует, что $AB \parallel CD$.

2. Теперь рассмотрим прямые $BC$ и $AD$ и ту же секущую $BD$. Углы $\angle 3$ ($\angle CBD$) и $\angle 4$ ($\angle ADB$) также являются внутренними накрест лежащими углами. По условию задачи, $\angle 3 = \angle 4$. По тому же признаку параллельности прямых, мы заключаем, что $BC \parallel AD$.

3. Мы установили, что в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Из равенства накрест лежащих углов $\angle 1 = \angle 2$ при секущей $BD$ следует параллельность сторон $AB$ и $CD$. Из равенства накрест лежащих углов $\angle 3 = \angle 4$ при той же секущей $BD$ следует параллельность сторон $BC$ и $AD$. Так как в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны, он является параллелограммом по определению.

12. Периметр параллелограмма равен 56 см. Найдите его стороны, если одна из них на 6 см больше другой.

12. Периметр параллелограмма равен 56 см. Найдите его стороны, если одна из них на 6 см больше другой.

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме его смежных сторон. Обозначим одну сторону параллелограмма как $x$ см. Тогда, согласно условию, другая сторона будет на 6 см больше, то есть $(x + 6)$ см.

Формула периметра параллелограмма:

$P = 2(a + b)$

где $a$ и $b$ — смежные стороны.

Подставим наши значения в формулу. Известно, что периметр $P = 56$ см.

$2(x + (x + 6)) = 56$

Решим полученное уравнение:

$2(2x + 6) = 56$

Разделим обе части уравнения на 2:

$2x + 6 = 28$

Перенесем 6 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 28 - 6$

$2x = 22$

$x = 22 / 2$

$x = 11$

Итак, одна сторона параллелограмма равна 11 см. Найдем вторую сторону:

$x + 6 = 11 + 6 = 17$ см

Противоположные стороны параллелограмма равны, значит его стороны равны 11 см, 17 см, 11 см и 17 см.

Ответ: 11 см и 17 см.

13. Периметр параллелограмма равен 126 см. Найдите его стороны, если две из них относятся как $4 : 5$.

13. Периметр параллелограмма равен 126 см. Найдите его стороны, если две из них относятся как $4 : 5$.

У параллелограмма противолежащие стороны равны. Поэтому, если две его стороны относятся как 4:5, то это смежные (соседние) стороны, так как отношение противолежащих сторон всегда равно 1:1.

Пусть $a$ и $b$ – длины смежных сторон параллелограмма. Согласно условию, их отношение равно $4:5$. Можно записать длины сторон через коэффициент пропорциональности $x$:

$a = 4x$

$b = 5x$

Периметр параллелограмма ($P$) вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

По условию $P = 126$ см. Подставим выражения для сторон в формулу периметра и решим уравнение:

$2(4x + 5x) = 126$

$2(9x) = 126$

$18x = 126$

$x = \frac{126}{18}$

$x = 7$

Теперь, зная коэффициент $x$, найдем длины сторон параллелограмма:

$a = 4x = 4 \cdot 7 = 28$ см

$b = 5x = 5 \cdot 7 = 35$ см

Таким образом, параллелограмм имеет две стороны по 28 см и две стороны по 35 см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 28 см и 35 см.

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $46^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $186^\circ$;

3) один из его углов на $56^\circ$ больше другого;

4) один из его углов в 3 раза меньше другого;

5) два его угла относятся как $5 : 7$.

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $46^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $186^\circ$;

3) один из его углов на $56^\circ$ больше другого;

4) один из его углов в 3 раза меньше другого;

5) два его угла относятся как $5:7$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма:

• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

1) один из его углов равен 46°

Пусть один из углов параллелограмма равен $46^\circ$. Этот угол является острым. В параллелограмме есть два равных острых угла и два равных тупых угла.
Следовательно, один угол равен $46^\circ$, и противоположный ему угол также равен $46^\circ$.
Найдем соседний (тупой) угол. Сумма соседних углов равна $180^\circ$.
Второй угол равен $180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$.
Противоположный ему угол также равен $134^\circ$.
Таким образом, углы параллелограмма: два по $46^\circ$ и два по $134^\circ$.
Ответ: $46^\circ, 134^\circ, 46^\circ, 134^\circ$.

2) сумма двух его углов равна 186°

Рассмотрим, какими могут быть эти два угла.
Если бы углы были соседними, их сумма была бы равна $180^\circ$. По условию сумма равна $186^\circ$, значит, эти углы не соседние.
Следовательно, эти углы — противоположные. Противоположные углы параллелограмма равны.
Пусть величина каждого из этих углов равна $\alpha$. Тогда:
$\alpha + \alpha = 186^\circ$
$2\alpha = 186^\circ$
$\alpha = 93^\circ$
Итак, два противоположных угла равны по $93^\circ$.
Найдем два других угла. Пусть соседний угол равен $\beta$.
$\beta = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ$.
Два других противоположных угла равны по $87^\circ$.
Углы параллелограмма: $87^\circ, 93^\circ, 87^\circ, 93^\circ$.
Ответ: $87^\circ, 93^\circ, 87^\circ, 93^\circ$.

3) один из его углов на 56° больше другого

Так как противоположные углы равны, эта разница может быть только между соседними углами.
Пусть один угол равен $x$, тогда соседний с ним угол равен $x + 56^\circ$.
Сумма соседних углов равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 56^\circ) = 180^\circ$
$2x + 56^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 56^\circ$
$2x = 124^\circ$
$x = 62^\circ$
Один угол равен $62^\circ$, а второй — $62^\circ + 56^\circ = 118^\circ$.
Углы параллелограмма: $62^\circ, 118^\circ, 62^\circ, 118^\circ$.
Ответ: $62^\circ, 118^\circ, 62^\circ, 118^\circ$.

4) один из его углов в 3 раза меньше другого

Это условие может выполняться только для соседних углов, так как противоположные углы равны.
Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший соседний угол равен $3x$.
Сумма этих углов равна $180^\circ$.
$x + 3x = 180^\circ$
$4x = 180^\circ$
$x = 180^\circ / 4 = 45^\circ$
Меньший угол равен $45^\circ$, а больший — $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
Углы параллелограмма: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

5) два его угла относятся как 5 : 7

Отношение противоположных углов равно 1:1, так как они равны. Значит, речь идет о соседних углах.
Пусть один угол равен $5x$, а второй — $7x$.
Их сумма равна $180^\circ$.
$5x + 7x = 180^\circ$
$12x = 180^\circ$
$x = 180^\circ / 12 = 15^\circ$
Найдем углы:
Первый угол: $5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$.
Второй угол: $7 \cdot 15^\circ = 105^\circ$.
Углы параллелограмма: $75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ$.
Ответ: $75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ$.

15. Даны два параллелограмма $ABCD$ и $KMNP$. Могут ли одновременно выполняться неравенства: $\angle A > \angle K$ и $\angle B > \angle M$?

15. Даны два параллелограмма ABCD и KMNP. Могут ли одновременно выполняться неравенства: $\angle A > \angle K$ и $\angle B > \angle M$?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством углов параллелограмма. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, всегда равна $180^\circ$.

В параллелограмме ABCD углы $\angle A$ и $\angle B$ прилежат к стороне AB. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$

В параллелограмме KMNP углы $\angle K$ и $\angle M$ прилежат к стороне KM. Следовательно, их сумма также равна $180^\circ$:
$\angle K + \angle M = 180^\circ$

Теперь предположим, что оба неравенства, указанные в условии, выполняются одновременно:
1) $\angle A > \angle K$
2) $\angle B > \angle M$

Сложим левые и правые части этих двух неравенств:
$\angle A + \angle B > \angle K + \angle M$

Подставим в полученное неравенство значения сумм углов, которые мы нашли ранее:
$180^\circ > 180^\circ$

Это неравенство является ложным, так как $180^\circ$ не может быть больше $180^\circ$. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что оба неравенства могут выполняться одновременно, неверно.

Ответ: нет, не могут.

16. На рисунке 2 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 2

$A$, $B$, $C$, $D$

Углы: $40^\circ$, $41^\circ$

$A$, $B$, $C$, $D$

Длины отрезков диагоналей: $5$, $9$, $9$, $6$

$A$, $B$, $C$, $D$

Углы: $48^\circ$, $122^\circ$

16. На рисунке 2 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 2

$40^\circ$ $41^\circ$

а

5 9 9 6

б

$48^\circ$ $122^\circ$

в

Для решения этой задачи необходимо вспомнить основные свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллельны ($BC \parallel AD$, $AB \parallel CD$).
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Проанализируем каждый рисунок:

а

В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны. Диагональ $BD$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ должны быть равны. На рисунке указано, что $\angle CBD = 40^\circ$, а $\angle ADB = 41^\circ$. Так как $40^\circ \neq 41^\circ$, то данное обозначение величин углов неверно.

Ответ: неверно.

б

По свойству параллелограмма, его диагонали $AC$ и $BD$ должны в точке пересечения делиться пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — $O$. Тогда должно выполняться равенство $BO=OD$ и $AO=OC$. На рисунке мы видим, что одна диагональ разделена на два отрезка длиной 9, что соответствует свойству ($9=9$). Однако вторая диагональ разделена на отрезки длиной 5 и 6. Так как $5 \neq 6$, свойство не выполняется. Следовательно, длины отрезков обозначены неверно.

Ответ: неверно.

в

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $\angle A$ и $\angle D$ прилежат к стороне $AD$. Найдем их сумму: $48^\circ + 122^\circ = 170^\circ$. Так как $170^\circ \neq 180^\circ$, то величины углов обозначены неверно.

Ответ: неверно.

17. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите разность периметров треугольников $COD$ и $AOD$, если $AB = 7$ см, $BC = 4$ см.

17. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите разность периметров треугольников $COD$ и $AOD$, если $AB = 7$ см, $BC = 4$ см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и определением периметра треугольника.

1. Определение периметров треугольников

Периметр треугольника $COD$, обозначим его $P_{COD}$, равен сумме длин его сторон: $P_{COD} = CO + OD + CD$

Периметр треугольника $AOD$, обозначим его $P_{AOD}$, равен сумме длин его сторон: $P_{AOD} = AO + OD + AD$

2. Нахождение разности периметров

Разность периметров треугольников $COD$ и $AOD$ равна: $P_{COD} - P_{AOD} = (CO + OD + CD) - (AO + OD + AD)$

Раскроем скобки и упростим выражение: $P_{COD} - P_{AOD} = CO + OD + CD - AO - OD - AD = (CO - AO) + (OD - OD) + (CD - AD)$

3. Использование свойств параллелограмма

У параллелограмма есть два ключевых свойства, которые мы используем:

• Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Для наших диагоналей $AC$ и $BD$, пересекающихся в точке $O$, это означает, что $AO = CO$ и $BO = DO$.
• Противоположные стороны параллелограмма равны. Это означает, что $CD = AB$ и $AD = BC$.

Подставим эти свойства в наше выражение для разности периметров.

Так как $AO = CO$, то разность $CO - AO = 0$.

Выражение принимает вид: $P_{COD} - P_{AOD} = 0 + 0 + CD - AD = CD - AD$

4. Вычисление результата

Из условия задачи мы знаем, что $AB = 7$ см и $BC = 4$ см. Используя свойство о равенстве противоположных сторон, находим: $CD = AB = 7$ см $AD = BC = 4$ см

Теперь подставим эти значения в итоговую формулу: $P_{COD} - P_{AOD} = 7 \text{ см} - 4 \text{ см} = 3 \text{ см}$

Ответ: 3 см.