Страница 11 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Диагонали четырёхугольника равны 2 см и 5 см, а угол между ними — $42^\circ$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

58. Диагонали четырёхугольника равны 2 см и 5 см, а угол между ними — $42^\circ$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого $d_1 = 5$ см и $d_2 = 2$ см, а угол между ними равен $42^\circ$.Пусть $P, Q, R, S$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Четырёхугольник $PQRS$, образованный соединением середин сторон, является искомым.

Согласно теореме Вариньона, четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырёхугольника, всегда является параллелограммом.

Стороны параллелограмма Вариньона ($PQRS$) параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ($ABCD$) и равны их половинам.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, является его средней линией. Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны:
$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$ см.
Аналогично, в треугольнике $ABD$ отрезок $PS$ является средней линией:
$PS = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.
Так как $PQRS$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны: $SR = PQ = 2,5$ см и $QR = PS = 1$ см.
Ответ: Две стороны четырёхугольника равны 2,5 см, а две другие — 1 см.

Поскольку стороны параллелограмма $PQRS$ параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ($PQ \parallel AC$ и $PS \parallel BD$), углы этого параллелограмма равны углам, образованным при пересечении диагоналей.
По условию, один из углов между диагоналями равен $42^\circ$. Второй (смежный) угол равен $180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$.
В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, два противоположных угла четырёхугольника $PQRS$ равны $42^\circ$, а два других — $138^\circ$.
Ответ: Два противоположных угла четырёхугольника равны $42^\circ$, а два других — $138^\circ$.

59. Определите вид четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника, диагонали — перпендикулярны.

59. Определите вид четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника, диагонали — перпендикулярны.

Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Необходимо определить вид четырехугольника $KLMN$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По определению, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно:
$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

2. Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $MN$ является его средней линией. Следовательно:
$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. По признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны), четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом. Этот факт также известен как теорема Вариньона.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ является его средней линией. Следовательно:
$KN \parallel BD$.

5. Мы установили, что $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$. Угол между двумя прямыми равен углу между любыми двумя другими прямыми, которые соответственно параллельны исходным. Таким образом, угол между смежными сторонами $KL$ и $KN$ параллелограмма $KLMN$ равен углу между диагоналями $AC$ и $BD$ исходного четырехугольника.

6. По условию задачи, диагонали четырехугольника $ABCD$ перпендикулярны, то есть угол между $AC$ и $BD$ равен $90^{\circ}$. Следовательно, угол между сторонами $KL$ и $KN$ также равен $90^{\circ}$.

7. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Так как $KLMN$ — это параллелограмм с прямым углом $\angle LKN = 90^{\circ}$, то $KLMN$ — прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник.

60. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является ромбом. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника равны.

60. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон данного четырёхугольника, является ромбом. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника равны.

Пусть данный четырехугольник — это $ABCD$. Обозначим точки $M, N, P, Q$ как середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Четырехугольник $MNPQ$, образованный соединением этих середин, по условию задачи является ромбом.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $MN$ является его средней линией. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, $MN = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$ и является его средней линией. Следовательно, $MQ = \frac{1}{2}BD$.

По определению ромба, все его стороны равны. В частности, равны смежные стороны $MN$ и $MQ$, то есть $MN = MQ$.

Приравнивая выражения для длин этих сторон, полученные из свойства средней линии, имеем: $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$.

Умножив обе части этого равенства на 2, получаем, что $AC = BD$.

Таким образом, диагонали данного четырехугольника $ABCD$ равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

61. Точки $M, K, N$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $CD$ и диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ соответственно. Найдите сторону $MN$ четырёхугольника $MNKP$, если $PK = 10$ см.

61. Точки $M, K, N$ и $P$ – середины сторон $AB$ и $CD$ и диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ соответственно. Найдите сторону $MN$ четырёхугольника $MNKP$, если $PK = 10$ см.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. По условию, точки $M, K, N$ и $P$ являются серединами отрезков $AB, CD, AC$ и $BD$ соответственно.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине:
$MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2} BC$.

В треугольнике $BCD$ отрезок $PK$ соединяет середины сторон $BD$ и $CD$. Следовательно, $PK$ является средней линией треугольника $BCD$. По свойству средней линии:
$PK \parallel BC$ и $PK = \frac{1}{2} BC$.

Таким образом, мы имеем два выражения для длины стороны $BC$:
$BC = 2 \cdot MN$
$BC = 2 \cdot PK$

Отсюда следует, что $2 \cdot MN = 2 \cdot PK$, а значит $MN = PK$.

По условию задачи, $PK = 10$ см. Следовательно, $MN = 10$ см.

Ответ: 10 см.

62. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $M$ и $K$ соответственно, что $BM : MA = BK : KC = 1 : 3$. Найдите сторону $AC$, если $MK = 7$ см.

62. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $M$ и $K$ соответственно, что $BM : MA = BK : KC = 1 : 3$. Найдите сторону $AC$, если $MK = 7$ см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBK$.

По условию задачи, точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $BM : MA = 1 : 3$. Это означает, что отрезок $BM$ составляет одну часть, а вся сторона $AB = BM + MA$ состоит из $1+3=4$ таких же частей. Следовательно, отношение длины отрезка $BM$ к длине стороны $AB$ равно:
$\frac{BM}{AB} = \frac{1}{4}$.

Аналогично, точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $BK : KC = 1 : 3$. Это означает, что отрезок $BK$ составляет одну часть, а вся сторона $BC = BK + KC$ состоит из $1+3=4$ таких же частей. Следовательно, отношение длины отрезка $BK$ к длине стороны $BC$ равно:
$\frac{BK}{BC} = \frac{1}{4}$.

Теперь сравним треугольники $ABC$ и $MBK$.
1. Угол $\angle B$ у них общий.
2. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны, так как $\frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{4}$.

Согласно второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBK \sim \triangle ABC$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон: $k = \frac{1}{4}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их третьих сторон $MK$ и $AC$ также равно коэффициенту подобия:
$\frac{MK}{AC} = k = \frac{1}{4}$.

Нам известно, что $MK = 7$ см. Подставим это значение в пропорцию и найдем длину стороны $AC$:
$\frac{7}{AC} = \frac{1}{4}$
$AC = 7 \cdot 4 = 28$ см.

Ответ: 28 см.

63. Два угла трапеции равны $32^{\circ}$ и $143^{\circ}$. Найдите два других её угла.

63. Два угла трапеции равны $32^\circ$ и $143^\circ$. Найдите два других её угла.

Основное свойство углов трапеции заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей.

В задаче даны два угла трапеции: $32^\circ$ и $143^\circ$. Сначала необходимо определить, могут ли эти углы быть прилежащими к одной боковой стороне. Для этого найдём их сумму: $32^\circ + 143^\circ = 175^\circ$

Так как сумма этих углов не равна $180^\circ$, они не могут прилегать к одной боковой стороне. Следовательно, каждый из этих углов прилегает к разным боковым сторонам. Это означает, что данные углы могут быть либо прилежащими к одному основанию, либо противолежащими. В обоих случаях для нахождения двух других углов используется свойство суммы углов у боковой стороны.

Пусть первый искомый угол, $\angle A$, является соседним с углом $32^\circ$ по боковой стороне. Тогда их сумма равна $180^\circ$: $\angle A = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$

Пусть второй искомый угол, $\angle B$, является соседним с углом $143^\circ$ по другой боковой стороне. Тогда их сумма также равна $180^\circ$: $\angle B = 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ$

Таким образом, мы нашли два других угла трапеции.

Ответ: два других угла трапеции равны $148^\circ$ и $37^\circ$.

64. Найдите углы равнобокой трапеции, если разность её противолежащих углов равна $86^\circ$.

64. Найдите углы равнобокой трапеции, если разность её противолежащих углов равна $86^\circ$.

Пусть дана равнобокая трапеция. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим углы при одном основании через $ \alpha $, а углы при другом основании через $ \beta $. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $ 180^\circ $. Таким образом, один из этих углов будет острым, а другой тупым (если трапеция не прямоугольник). Пусть $ \alpha $ — острый угол, а $ \beta $ — тупой.

Следовательно, мы имеем два свойства для углов равнобокой трапеции:

1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $ 180^\circ $:

$ \alpha + \beta = 180^\circ $

2. Противолежащие углы в равнобокой трапеции — это $ \alpha $ и $ \beta $. По условию задачи, их разность равна $ 86^\circ $. Так как $ \beta > \alpha $, то:

$ \beta - \alpha = 86^\circ $

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta - \alpha = 86^\circ \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $ \beta $:

$ (\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 86^\circ $

$ 2\beta = 266^\circ $

$ \beta = \frac{266^\circ}{2} = 133^\circ $

Теперь, зная $ \beta $, найдем $ \alpha $ из первого уравнения:

$ \alpha = 180^\circ - \beta $

$ \alpha = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ $

В равнобокой трапеции два угла равны $ \alpha $ и два угла равны $ \beta $.

Таким образом, углы трапеции: $ 47^\circ, 47^\circ, 133^\circ, 133^\circ $.

Ответ: Два угла трапеции равны $ 47^\circ $, а два других — $ 133^\circ $.

65. В прямоугольной трапеции тупой угол в 5 раз больше острого. Найдите углы трапеции.

65. В прямоугольной трапеции тупой угол в 5 раз больше острого. Найдите углы трапеции.

В прямоугольной трапеции два угла являются прямыми, то есть их градусная мера составляет $90^\circ$. Два других угла, прилежащие к наклонной боковой стороне, являются острым и тупым. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.

Пусть величина острого угла равна $x$.

Согласно условию, тупой угол в 5 раз больше острого, следовательно, его величина равна $5x$.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма этих двух углов равна $180^\circ$:

$x + 5x = 180^\circ$

Решим это уравнение:

$6x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{6}$

$x = 30^\circ$

Таким образом, острый угол трапеции равен $30^\circ$.

Теперь найдем величину тупого угла:

$5x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

Следовательно, углы трапеции равны $90^\circ$, $90^\circ$, $30^\circ$ и $150^\circ$.

Ответ: $30^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 150^\circ$.

66. Высота равнобокой трапеции, проведённая из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол $17^\circ$. Найдите углы трапеции.

66. Высота равнобокой трапеции, проведённая из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол $17^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. Проведем высоту BH из вершины тупого угла B к большему основанию AD. По определению высоты, BH перпендикулярна AD, следовательно, треугольник ABH является прямоугольным с прямым углом $\angle BHA = 90^\circ$.

По условию задачи, высота BH образует с боковой стороной AB угол $17^\circ$. Это означает, что $\angle ABH = 17^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы можем найти угол A трапеции (также известный как $\angle BAD$):
$\angle A + \angle ABH = 90^\circ$
$\angle A + 17^\circ = 90^\circ$
$\angle A = 90^\circ - 17^\circ = 73^\circ$

Так как трапеция ABCD равнобокая, углы при каждом основании равны. Угол при основании AD, $\angle D$, равен углу $\angle A$:
$\angle D = \angle A = 73^\circ$

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, поскольку основания параллельны (AD || BC). Используя это свойство, найдем тупой угол B ($\angle ABC$):
$\angle A + \angle B = 180^\circ$
$73^\circ + \angle B = 180^\circ$
$\angle B = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$

Так как трапеция равнобокая, другой тупой угол $\angle C$ ($\angle BCD$) равен углу $\angle B$:
$\angle C = \angle B = 107^\circ$

Ответ: углы трапеции равны $73^\circ$, $107^\circ$, $107^\circ$, $73^\circ$.

67. Найдите среднюю линию трапеции, если её основания равны 6 см и 11 см.

67. Найдите среднюю линию трапеции, если её основания равны 6 см и 11 см.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Длина средней линии равна полусумме длин оснований.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. По условию, $a = 6$ см и $b = 11$ см.

Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, вычисляется по формуле:
$m = \frac{a + b}{2}$

Подставим в формулу значения длин оснований:
$m = \frac{6 + 11}{2}$

Вычислим сумму оснований:
$6 + 11 = 17$

Теперь разделим полученную сумму на 2:
$m = \frac{17}{2} = 8,5$ см

Таким образом, длина средней линии трапеции составляет 8,5 см.

Ответ: 8,5 см.

68. Одно из оснований трапеции равно 7 см, а средняя линия — 11 см. Найдите второе основание трапеции.

68. Одно из оснований трапеции равно 7 см, а средняя линия – 11 см. Найдите второе основание трапеции.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

Пусть $a$ и $b$ — это основания трапеции, а $m$ — ее средняя линия. Формула для нахождения средней линии выглядит следующим образом:

$m = \frac{a + b}{2}$

Согласно условию задачи, нам даны:

Одно из оснований, пусть это будет $a$, равно 7 см.

Средняя линия $m$ равна 11 см.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти неизвестное основание $b$:

$11 = \frac{7 + b}{2}$

Теперь решим полученное уравнение. Умножим обе части уравнения на 2:

$11 \times 2 = 7 + b$

$22 = 7 + b$

Чтобы найти $b$, вычтем 7 из 22:

$b = 22 - 7$

$b = 15$

Таким образом, длина второго основания трапеции составляет 15 см.

Ответ: 15 см.

69. Средняя линия трапеции равна 19 см, а одно из оснований меньше другого на 6 см. Найдите основания трапеции.

69. Средняя линия трапеции равна 19 см, а одно из оснований меньше другого на 6 см. Найдите основания трапеции.

Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, вычисляется как полусумма ее оснований, которые мы обозначим как $a$ и $b$. Формула выглядит следующим образом: $m = \frac{a + b}{2}$

Из условия задачи нам известно, что средняя линия $m = 19$ см. Также дано, что одно из оснований меньше другого на 6 см. Давайте обозначим меньшее основание как $x$ см. Тогда большее основание будет равно $(x + 6)$ см.

Теперь мы можем подставить известные нам значения в формулу средней линии и составить уравнение: $19 = \frac{x + (x + 6)}{2}$

Решим это уравнение для нахождения $x$: $19 = \frac{2x + 6}{2}$ Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: $19 \cdot 2 = 2x + 6$ $38 = 2x + 6$ Теперь вычтем 6 из обеих частей: $38 - 6 = 2x$ $32 = 2x$ Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$: $x = \frac{32}{2}$ $x = 16$

Мы нашли значение $x$, которое представляет собой меньшее основание. Итак, меньшее основание равно 16 см.

Теперь найдем большее основание, подставив значение $x$: Большее основание = $x + 6 = 16 + 6 = 22$ см.

Ответ: основания трапеции равны 16 см и 22 см.