Номер 64, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. Найдите углы равнобокой трапеции, если разность её противолежащих углов равна $86^\circ$.

64. Найдите углы равнобокой трапеции, если разность её противолежащих углов равна $86^\circ$.

Пусть дана равнобокая трапеция. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Обозначим углы при одном основании через $ \alpha $, а углы при другом основании через $ \beta $. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $ 180^\circ $. Таким образом, один из этих углов будет острым, а другой тупым (если трапеция не прямоугольник). Пусть $ \alpha $ — острый угол, а $ \beta $ — тупой.

Следовательно, мы имеем два свойства для углов равнобокой трапеции:

1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $ 180^\circ $:

$ \alpha + \beta = 180^\circ $

2. Противолежащие углы в равнобокой трапеции — это $ \alpha $ и $ \beta $. По условию задачи, их разность равна $ 86^\circ $. Так как $ \beta > \alpha $, то:

$ \beta - \alpha = 86^\circ $

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta - \alpha = 86^\circ \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $ \beta $:

$ (\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 86^\circ $

$ 2\beta = 266^\circ $

$ \beta = \frac{266^\circ}{2} = 133^\circ $

Теперь, зная $ \beta $, найдем $ \alpha $ из первого уравнения:

$ \alpha = 180^\circ - \beta $

$ \alpha = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ $

В равнобокой трапеции два угла равны $ \alpha $ и два угла равны $ \beta $.

Таким образом, углы трапеции: $ 47^\circ, 47^\circ, 133^\circ, 133^\circ $.

Ответ: Два угла трапеции равны $ 47^\circ $, а два других — $ 133^\circ $.