Номер 71, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию, а её диагональ образует с основанием угол $32^\circ$. Найдите углы трапеции.

71. Боковая сторона равнобокой трапеции равна меньшему основанию, а её диагональ образует с основанием угол $32^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где BC и AD — основания, причём BC — меньшее основание. AB и CD — боковые стороны.

По условию задачи трапеция ABCD — равнобокая, следовательно, её боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при основаниях также равны ($\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$).

Также по условию боковая сторона равна меньшему основанию: $AB = BC$. Из этих двух условий следует, что $AB = BC = CD$.

Диагональ AC образует с основанием AD угол 32°, то есть $\angle CAD = 32^\circ$.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как $AB = BC$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании AC равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а AC — секущая, то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны.

Так как $\angle CAD = 32^\circ$, то и $\angle BCA = 32^\circ$.

Из равнобедренного треугольника ABC мы знаем, что $\angle BAC = \angle BCA$, следовательно, $\angle BAC = 32^\circ$.

Теперь найдём полный угол трапеции при большем основании A. Он является суммой двух углов:

$\angle A = \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 32^\circ + 32^\circ = 64^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, угол при другом конце большего основания D равен углу A:

$\angle D = \angle A = 64^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Используем это свойство для нахождения угла B:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.

По свойству равнобокой трапеции, угол C равен углу B:

$\angle C = \angle B = 116^\circ$.

Итак, углы трапеции равны $64^\circ$, $116^\circ$, $116^\circ$, $64^\circ$.

Ответ: $64^\circ$, $116^\circ$, $116^\circ$, $64^\circ$.