Номер 72, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне, а острый угол, противолежащий этой диагонали, равен $52^{\circ}$. Найдите остальные углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне, а острый угол, противолежащий этой диагонали, равен $52^\circ$. Найдите остальные углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), и $BC$ – меньшее основание. Боковыми сторонами являются $AB$ и $CD$.

Из условия задачи нам известно:

1. Одна из диагоналей перпендикулярна боковой стороне.
2. Острый угол, противолежащий этой диагонали, равен $52^\circ$.
3. Меньшее основание равно второй боковой стороне.

Рассмотрим один из возможных случаев, который соответствует условию. Пусть диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$.

$\angle ACD = 90^\circ$

Углы, противолежащие диагонали $AC$, это $\angle B$ и $\angle D$. По условию, острый угол из них равен $52^\circ$. Предположим, что $\angle D = 52^\circ$. Это острый угол, что соответствует условию. (Позже мы проверим, что угол $\angle B$ окажется тупым, что подтвердит наш выбор).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол $\angle CAD$:

$\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle ADC = 180^\circ - 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$

Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими углами при секущей $AC$. Следовательно, они равны:

$\angle BCA = \angle CAD = 38^\circ$

По условию, меньшее основание ($BC$) равно второй боковой стороне. Так как перпендикулярность связана со стороной $CD$, второй боковой стороной является $AB$. Таким образом, $BC = AB$.

Равенство сторон $BC$ и $AB$ означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA = 38^\circ$

Теперь мы можем найти все углы трапеции:

Угол A:

$\angle A = \angle DAB = \angle BAC + \angle CAD = 38^\circ + 38^\circ = 76^\circ$

Угол D:

$\angle D = 52^\circ$ (по нашему предположению из условия).

Угол C:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Для стороны $CD$ имеем:

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$

Также можно найти этот угол как сумму его частей: $\angle C = \angle BCA + \angle ACD = 38^\circ + 90^\circ = 128^\circ$.

Угол B:

Для боковой стороны $AB$ также имеем:

$\angle B + \angle A = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$

Итак, углы трапеции равны $76^\circ, 104^\circ, 128^\circ, 52^\circ$. Угол $52^\circ$ дан в условии. Остальные углы – $76^\circ, 104^\circ, 128^\circ$.

Проверим условие об остром угле: противолежащие диагонали $AC$ углы – это $\angle D = 52^\circ$ (острый) и $\angle B = 104^\circ$ (тупой). Условие, что острый угол равен $52^\circ$, выполняется, и он единственный острый из двух противолежащих.

Стоит отметить, что существует и другая конфигурация, удовлетворяющая условию (диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$, и $\angle A = 52^\circ$), которая приводит к тому же набору углов для трапеции: $52^\circ, 76^\circ, 104^\circ, 128^\circ$. Таким образом, ответ на вопрос о значениях углов является однозначным.

Ответ: Остальные углы трапеции равны $76^\circ, 104^\circ$ и $128^\circ$.