Номер 76, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. В равнобокой трапеции острый угол равен 60°, а боковая сторона — 16 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 38 см.

76. В равнобокой трапеции острый угол равен $60^\circ$, а боковая сторона – 16 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 38 см.

Пусть дана равнобокая трапеция. Обозначим её основания как $a$ и $b$ (где $b$ — большее основание), а боковую сторону как $c$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
1. Острый угол при основании равен $60^\circ$.
2. Длина боковой стороны $c = 16$ см.
3. Сумма оснований $a + b = 38$ см.

Решение

Для нахождения оснований трапеции воспользуемся её свойствами. Проведем из вершины меньшего основания высоту $h$ к большему основанию. Эта высота отсекает от трапеции прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является боковая сторона трапеции $c$, а одним из катетов — отрезок $x$, который является частью большего основания.

В данном прямоугольном треугольнике катет $x$ прилежит к острому углу в $60^\circ$. Связь между гипотенузой, катетом и прилежащим к нему углом выражается через косинус:
$\cos(60^\circ) = \frac{x}{c}$

Отсюда мы можем выразить и найти длину отрезка $x$:
$x = c \cdot \cos(60^\circ)$
Поскольку значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, а $c = 16$ см, получаем:
$x = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

В равнобокой трапеции, если провести обе высоты из вершин меньшего основания, они отсекут на большем основании два равных отрезка $x$. Большее основание $b$ будет состоять из меньшего основания $a$ и двух таких отрезков: $b = a + 2x$.
Следовательно, разность оснований равна $b - a = 2x$.

Подставив найденное значение $x = 8$ см, мы получаем второе уравнение, связывающее основания:
$b - a = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
1) $a + b = 38$
2) $b - a = 16$

Для решения системы сложим оба уравнения:
$(a + b) + (b - a) = 38 + 16$
$2b = 54$
$b = \frac{54}{2} = 27$ см.

Мы нашли длину большего основания. Теперь найдем длину меньшего основания, подставив значение $b$ в первое уравнение:
$a + 27 = 38$
$a = 38 - 27 = 11$ см.

Таким образом, основания трапеции равны 11 см и 27 см.

Ответ: 11 см и 27 см.