Номер 77, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 16 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

77. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 16 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи, длины оснований равны $AD = 16$ см и $BC = 10$ см. Диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны друг другу. Пусть точка их пересечения — $O$.

В равнобокой трапеции треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, являются равнобедренными. То есть, треугольник $\triangle BOC$ (с основанием $BC$) и треугольник $\triangle AOD$ (с основанием $AD$) — равнобедренные, так как в равнобокой трапеции отрезки диагоналей от вершины до точки пересечения попарно равны: $OB = OC$ и $OA = OD$.

Так как по условию диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), то углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ прямые ($\angle BOC = \angle AOD = 90^\circ$). Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведём высоту трапеции $h$ через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота $h$ будет состоять из двух отрезков: высоты $h_1$ треугольника $\triangle BOC$ и высоты $h_2$ треугольника $\triangle AOD$, проведённых из точки $O$ к основаниям $BC$ и $AD$ соответственно.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, также является медианой и равна половине длины гипотенузы.

Для $\triangle BOC$, гипотенузой является основание $BC$. Высота $h_1$ равна: $h_1 = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Для $\triangle AOD$, гипотенузой является основание $AD$. Высота $h_2$ равна: $h_2 = \frac{AD}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Полная высота трапеции $h$ равна сумме этих двух высот: $h = h_1 + h_2 = 5 + 8 = 13$ см.

Ответ: 13 см.