Номер 79, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и диагонали.

79. Постройте трапецию по основаниям, высоте и диагонали.

Для построения трапеции по заданным двум основаниям $a$ и $b$, высоте $h$ и диагонали $d$ необходимо выполнить следующие шаги, основанные на построении вспомогательного прямоугольного треугольника.

Пусть искомая трапеция — $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD=a$ и $BC=b$. Пусть высота трапеции равна $h$, а одна из диагоналей, например $AC$, равна $d$. Опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CH$ на прямую, содержащую основание $AD$. Тогда $CH$ является высотой трапеции, то есть $CH=h$. В полученном прямоугольном треугольнике $ACH$ катет $CH$ равен высоте $h$, а гипотенуза $AC$ — диагонали $d$. Этот треугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если выполняется условие $d \ge h$. Построив этот треугольник, мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой, на которой лежит основание $AD$. После этого можно будет достроить трапецию до полного вида.

1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $H$.
2. Восставим в точке $H$ перпендикуляр $m$ к прямой $l$.
3. На перпендикуляре $m$ отложим отрезок $CH$, равный по длине заданной высоте $h$.
4. Из точки $C$ как из центра проведем дугу окружности радиусом, равным длине диагонали $d$. Точку пересечения этой дуги с прямой $l$ обозначим как $A$. (Если $d < h$, дуга не пересечет прямую, и построение невозможно. Если $d=h$, точка $A$ совпадет с $H$).
5. Теперь на прямой $l$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный длине основания $a$. Вершина $D$ найдена.
6. Через точку $C$ проведем прямую $n$, параллельную прямой $l$.
7. На прямой $n$ от точки $C$ отложим отрезок $BC$, равный длине основания $b$. Вершина $B$ найдена.
8. Последовательно соединим точки $A, B, C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• $ABCD$ — трапеция, так как сторона $BC$ лежит на прямой $n$, а сторона $AD$ — на прямой $l$, причем $n \parallel l$ по построению.
• Основания трапеции равны заданным длинам: $AD = a$ и $BC = b$ по построению.
• Высота трапеции равна расстоянию между параллельными прямыми $l$ и $n$, которое по построению равно длине перпендикуляра $CH = h$.
• Диагональ $AC$ по построению равна $d$, так как она является радиусом дуги, проведенной на шаге 4.

Все условия выполнены, следовательно, построенная фигура является искомой трапецией. Стоит отметить, что в зависимости от того, в какую сторону откладывать отрезки $AD$ и $BC$, можно получить до двух различных (неконгруэнтных) решений.

Ответ: Алгоритм построения трапеции, его анализ и доказательство корректности представлены выше.