Номер 86, страница 13 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите угол $BOC$, если:

1) $\angle A = 78^\circ$;

2) $\angle A = 128^\circ$.

86. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите угол $BOC$, если: 1) $\angle A = 78^\circ$; 2) $\angle A = 128^\circ$.

1) Угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) является вписанным углом, а угол $\angle BOC$ — соответствующим ему центральным углом, так как они оба опираются на одну и ту же дугу $BC$.
По теореме о центральном и вписанном углах, величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
Поскольку угол $\angle A = 78^{\circ}$ — острый, то центр окружности $O$ и вершина $A$ лежат по одну сторону от хорды $BC$. В этом случае формула применяется напрямую:
$\angle BOC = 2 \cdot \angle A$
$\angle BOC = 2 \cdot 78^{\circ} = 156^{\circ}$
Ответ: $156^{\circ}$

2) В этом случае вписанный угол $\angle A = 128^{\circ}$ — тупой. Это означает, что центр окружности $O$ и вершина $A$ лежат по разные стороны от хорды $BC$. Вписанный угол $\angle A$ опирается на большую дугу $BC$. Искомый угол $\angle BOC$ — это центральный угол, опирающийся на меньшую дугу $BC$.
Можно рассмотреть другую точку $D$ на окружности, которая лежит на меньшей дуге $BC$. Тогда четырехугольник $ABDC$ будет вписан в окружность. По свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$.
$\angle BAC + \angle BDC = 180^{\circ}$
Отсюда можно найти угол $\angle BDC$, который опирается на меньшую дугу $BC$:
$\angle BDC = 180^{\circ} - \angle BAC = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ}$
Теперь и вписанный угол $\angle BDC$, и центральный угол $\angle BOC$ опираются на одну и ту же (меньшую) дугу $BC$. Применяем теорему о центральном и вписанном углах:
$\angle BOC = 2 \cdot \angle BDC$
$\angle BOC = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ}$
Ответ: $104^{\circ}$