Номер 87, страница 13 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Точки A, B и C делят окружность на три дуги так, что $\cup AB : \cup BC : \cup AC = 3 : 5 : 7$. Найдите углы треугольника ABC.

87. Точки A, B и C делят окружность на три дуги так, что $\overset{\frown}{AB} : \overset{\frown}{BC} : \overset{\frown}{AC} = 3 : 5 : 7$. Найдите углы треугольника ABC.

Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$. Точки A, B и C делят окружность на три дуги, градусные меры которых (обозначим как ◡AB, ◡BC, ◡AC) находятся в соотношении $3:5:7$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры дуг будут равны:

• ◡$AB = 3x$
• ◡$BC = 5x$
• ◡$AC = 7x$

Сумма градусных мер этих дуг равна градусной мере всей окружности:

◡$AB$ + ◡$BC$ + ◡$AC = 360^\circ$

$3x + 5x + 7x = 360^\circ$

$15x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{15} = 24^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги, подставив значение $x$:

• ◡$AB = 3 \cdot 24^\circ = 72^\circ$
• ◡$BC = 5 \cdot 24^\circ = 120^\circ$
• ◡$AC = 7 \cdot 24^\circ = 168^\circ$

Углы треугольника $ABC$ являются вписанными в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

• Угол $\angle C$ (или $\angle BCA$) опирается на дугу $AB$.
• Угол $\angle A$ (или $\angle CAB$) опирается на дугу $BC$.
• Угол $\angle B$ (или $\angle ABC$) опирается на дугу $AC$.

Вычислим величины углов треугольника:

$\angle C = \frac{1}{2} \cdot$ ◡$AB = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$

$\angle A = \frac{1}{2} \cdot$ ◡$BC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$

$\angle B = \frac{1}{2} \cdot$ ◡$AC = \frac{1}{2} \cdot 168^\circ = 84^\circ$

Проверка: сумма углов треугольника должна быть равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle B + \angle C = 60^\circ + 84^\circ + 36^\circ = 180^\circ$

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $36^\circ, 60^\circ, 84^\circ$.