Номер 94, страница 14 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AB$ и $KE$ (рис. 12). Найдите угол $ABE$, если $\angle PKE = 16^\circ$, $\angle BAP = 48^\circ$.

Рис. 12

94. В окружности с центром $O$ проведены диаметры $AB$ и $KE$ (рис. 12). Найдите угол $ABE$, если $\angle PKE = 16^\circ$, $\angle BAP = 48^\circ$.

Рис. 12

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $\angle PKE$ является вписанным и опирается на дугу $PE$. Следовательно, градусная мера дуги $PE$ равна:

$\text{дуга } PE = 2 \cdot \angle PKE = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$.

Аналогично, вписанный угол $\angle BAP$ опирается на дугу $BP$. Значит, градусная мера дуги $BP$ равна:

$\text{дуга } BP = 2 \cdot \angle BAP = 2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$.

Градусная мера дуги $BE$ равна сумме градусных мер дуг, из которых она состоит, то есть дуг $BP$ и $PE$:

$\text{дуга } BE = \text{дуга } BP + \text{дуга } PE = 96^\circ + 32^\circ = 128^\circ$.

По условию, $AB$ — диаметр окружности. Диаметр делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$. Дуга $AEB$ является одной из таких полуокружностей. Эта дуга состоит из дуг $AE$ и $BE$. Отсюда мы можем найти градусную меру дуги $AE$:

$\text{дуга } AE = \text{дуга } AEB - \text{дуга } BE = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.

Искомый угол $\angle ABE$ является вписанным и опирается на дугу $AE$. Его величина равна половине градусной меры этой дуги:

$\angle ABE = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AE = \frac{1}{2} \cdot 52^\circ = 26^\circ$.

Ответ: $26^\circ$.