Номер 90, страница 13 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Центральные и вписанные углы. Вариант 1. Упражнения - номер 90, страница 13.

Условие 2017.

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AC = BC$). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle AOB = 128^\circ$. Сколько решений имеет задача?

Условие 2021.

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AC = BC$). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle AOB = 128^\circ$. Сколько решений имеет задача?

Решение 2021.

Поскольку точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, то отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ равны как радиусы окружности ($R$). Треугольник $AOB$ является равнобедренным с $OA = OB = R$.

Угол $\angle AOB$ — это центральный угол, опирающийся на дугу $AB$. Угол $\angle ACB$ — вписанный угол, который также опирается на дугу $AB$. В зависимости от расположения вершины $C$ на окружности, задача имеет два решения.

Случай 1. Вершина C и центр окружности O лежат по одну сторону от хорды AB (треугольник ABC остроугольный).

В этом случае вписанный угол $\angle ACB$ опирается на меньшую дугу $AB$. Величина этой дуги равна величине центрального угла, который на нее опирается, то есть $\smile AB = \angle AOB = 128^\circ$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \smile AB = \frac{1}{2} \cdot 128^\circ = 64^\circ$.

По условию треугольник $ABC$ равнобедренный, и $AC = BC$. Следовательно, углы при основании $AB$ равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAB + 64^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAB = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$

$\angle CAB = \frac{116^\circ}{2} = 58^\circ$

Значит, $\angle CBA = 58^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $58^\circ, 58^\circ, 64^\circ$.

Случай 2. Вершина C и центр окружности O лежат по разные стороны от хорды AB (треугольник ABC тупоугольный).

В этом случае вписанный угол $\angle ACB$ опирается на большую дугу $AB$. Величина большей дуги $AB$ равна $360^\circ$ минус величина меньшей дуги:

$\smile AB_{большая} = 360^\circ - \angle AOB = 360^\circ - 128^\circ = 232^\circ$.

Вписанный угол $\angle ACB$ равен половине дуги, на которую он опирается:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \smile AB_{большая} = \frac{1}{2} \cdot 232^\circ = 116^\circ$.

Треугольник $ABC$ по-прежнему равнобедренный с основанием $AB$ ($\angle CAB = \angle CBA$).

Найдем углы при основании из суммы углов треугольника:

$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAB + 116^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAB = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$

$\angle CAB = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ$

Значит, $\angle CBA = 32^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $32^\circ, 32^\circ, 116^\circ$.

Таким образом, задача имеет два решения.