Номер 97, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Прямые $AD$ и $BE$ касаются окружности, описанной около треугольника $ABC$, в точках $A$ и $B$ соответственно (рис. 15). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle BAD = 59^\circ$, $\angle CBE = 33^\circ$.

97. Прямые $AD$ и $BE$ касаются окружности, описанной около треугольника $ABC$, в точках $A$ и $B$ соответственно (рис. 15). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle BAD = 59^{\circ}$, $\angle CBE = 33^{\circ}$.

Рис. 15

Для решения данной задачи используется теорема об угле между касательной и хордой. Эта теорема гласит, что угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключенную между касательной и хордой.

Нахождение угла BCA

Угол $\angle BAD$ образован касательной $AD$ и хордой $AB$. Согласно теореме, величина этого угла равна величине вписанного угла, который опирается на дугу $AB$. В треугольнике $ABC$ таким углом является угол $\angle BCA$. По условию задачи $\angle BAD = 59^\circ$, следовательно:
$\angle BCA = \angle BAD = 59^\circ$.

Нахождение угла BAC

Аналогично, угол $\angle CBE$ образован касательной $BE$ и хордой $BC$. Величина этого угла равна величине вписанного угла, который опирается на дугу $BC$. В треугольнике $ABC$ таким углом является угол $\angle BAC$. По условию задачи $\angle CBE = 33^\circ$, следовательно:
$\angle BAC = \angle CBE = 33^\circ$.

Нахождение угла ABC

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Теперь, зная два угла треугольника $ABC$, мы можем найти третий угол $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA)$
Подставим найденные значения:
$\angle ABC = 180^\circ - (33^\circ + 59^\circ)$
$\angle ABC = 180^\circ - 92^\circ$
$\angle ABC = 88^\circ$.

Ответ: $\angle BAC = 33^\circ$, $\angle ABC = 88^\circ$, $\angle BCA = 59^\circ$.