Страница 15 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Прямые $AD$ и $BE$ касаются окружности, описанной около треугольника $ABC$, в точках $A$ и $B$ соответственно (рис. 15). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle BAD = 59^\circ$, $\angle CBE = 33^\circ$.

97. Прямые $AD$ и $BE$ касаются окружности, описанной около треугольника $ABC$, в точках $A$ и $B$ соответственно (рис. 15). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle BAD = 59^{\circ}$, $\angle CBE = 33^{\circ}$.

Рис. 15

Для решения данной задачи используется теорема об угле между касательной и хордой. Эта теорема гласит, что угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключенную между касательной и хордой.

Нахождение угла BCA

Угол $\angle BAD$ образован касательной $AD$ и хордой $AB$. Согласно теореме, величина этого угла равна величине вписанного угла, который опирается на дугу $AB$. В треугольнике $ABC$ таким углом является угол $\angle BCA$. По условию задачи $\angle BAD = 59^\circ$, следовательно:
$\angle BCA = \angle BAD = 59^\circ$.

Нахождение угла BAC

Аналогично, угол $\angle CBE$ образован касательной $BE$ и хордой $BC$. Величина этого угла равна величине вписанного угла, который опирается на дугу $BC$. В треугольнике $ABC$ таким углом является угол $\angle BAC$. По условию задачи $\angle CBE = 33^\circ$, следовательно:
$\angle BAC = \angle CBE = 33^\circ$.

Нахождение угла ABC

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Теперь, зная два угла треугольника $ABC$, мы можем найти третий угол $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA)$
Подставим найденные значения:
$\angle ABC = 180^\circ - (33^\circ + 59^\circ)$
$\angle ABC = 180^\circ - 92^\circ$
$\angle ABC = 88^\circ$.

Ответ: $\angle BAC = 33^\circ$, $\angle ABC = 88^\circ$, $\angle BCA = 59^\circ$.

98. Через точку C окружности проведена касательная CD, не параллельная диаметру AB (рис. 16). Найдите углы треугольника ABC, если $\angle DCA = 160^\circ$.

Рис. 16

98. Через точку C окружности проведена касательная CD, не параллельная диаметру AB (рис. 16). Найдите углы треугольника ABC, если $\angle DCA = 160^\circ$.

Рис. 16

Поскольку AB является диаметром окружности, а точка C — точкой на этой окружности, то треугольник ABC вписан в окружность, и одна из его сторон является диаметром. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, угол $∠ACB$ прямой. $∠ACB = 90°$.

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними. В условии дан угол $∠DCA = 160°$. Этот угол измеряется половиной большей дуги AC, то есть дуги ACB.

Рассмотрим угол, смежный с углом $∠DCA$. Пусть на прямой CD есть точка E, такая что C лежит между D и E. Тогда угол $∠ECA = 180° - ∠DCA$. $∠ECA = 180° - 160° = 20°$.

Угол $∠ECA$ — это угол между касательной EC и хордой AC. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу AC. Вписанным углом, опирающимся на дугу AC, является угол $∠ABC$. Следовательно, $∠ABC = ∠ECA = 20°$.

Зная два угла треугольника ABC ($∠ACB = 90°$ и $∠ABC = 20°$), можем найти третий угол $∠CAB$ из условия, что сумма углов в треугольнике равна $180°$: $∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (90° + 20°) = 180° - 110° = 70°$.

Ответ: углы треугольника ABC равны $∠CAB = 70°$, $∠ABC = 20°$, $∠ACB = 90°$.

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $78^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

99. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $78^\circ$. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $B$, где $AB = BC$. Угол при вершине $\angle B = 78^\circ$. На боковой стороне $AB$ как на диаметре построена полуокружность. Пусть $O$ — середина $AB$ и центр этой полуокружности. Эта полуокружность пересекает две другие стороны треугольника: основание $AC$ в точке $D$ и боковую сторону $BC$ в точке $E$. В результате полуокружность разделена на три дуги: $\overset{\frown}{AD}$, $\overset{\frown}{DE}$ и $\overset{\frown}{EB}$. Нам нужно найти их градусные меры.

1. Найдём углы при основании треугольника
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - 78^\circ}{2} = \frac{102^\circ}{2} = 51^\circ$.

2. Найдём градусную меру дуги $\overset{\frown}{AD}$
Рассмотрим точку $D$ — точку пересечения полуокружности и основания $AC$. Соединим центр полуокружности $O$ с точкой $D$. Получим треугольник $AOD$. В этом треугольнике $OA$ и $OD$ являются радиусами полуокружности, следовательно, $OA = OD$. Значит, $\triangle AOD$ — равнобедренный. Угол $\angle OAD$ является углом $\angle A$ исходного треугольника, поэтому $\angle OAD = 51^\circ$. В равнобедренном треугольнике $AOD$ углы при основании равны, то есть $\angle ODA = \angle OAD = 51^\circ$. Сумма углов в $\triangle AOD$ равна $180^\circ$, поэтому центральный угол $\angle AOD$, опирающийся на дугу $\overset{\frown}{AD}$, равен: $\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (51^\circ + 51^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается. Таким образом, градусная мера дуги $\overset{\frown}{AD}$ равна $78^\circ$.

3. Найдём градусную меру дуги $\overset{\frown}{EB}$
Рассмотрим точку $E$ — точку пересечения полуокружности и стороны $BC$. Угол $\angle AEB$ является вписанным в окружность и опирается на диаметр $AB$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, он равен $90^\circ$. Таким образом, $\triangle AEB$ — прямоугольный. В прямоугольном треугольнике $AEB$ нам известны два угла: $\angle AEB = 90^\circ$ и $\angle B = 78^\circ$. Найдём третий угол $\angle BAE$: $\angle BAE = 180^\circ - 90^\circ - 78^\circ = 12^\circ$. Угол $\angle BAE$ является вписанным углом, который опирается на дугу $\overset{\frown}{EB}$. Градусная мера дуги в два раза больше градусной меры вписанного угла, который на неё опирается. Следовательно, градусная мера дуги $\overset{\frown}{EB} = 2 \cdot \angle BAE = 2 \cdot 12^\circ = 24^\circ$.

4. Найдём градусную меру дуги $\overset{\frown}{DE}$
Три дуги $\overset{\frown}{AD}$, $\overset{\frown}{DE}$ и $\overset{\frown}{EB}$ вместе составляют полуокружность, градусная мера которой равна $180^\circ$. Следовательно, $\text{мера}(\overset{\frown}{AD}) + \text{мера}(\overset{\frown}{DE}) + \text{мера}(\overset{\frown}{EB}) = 180^\circ$. Подставим найденные значения: $78^\circ + \text{мера}(\overset{\frown}{DE}) + 24^\circ = 180^\circ$. $102^\circ + \text{мера}(\overset{\frown}{DE}) = 180^\circ$. $\text{мера}(\overset{\frown}{DE}) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

Итак, градусные меры образовавшихся дуг равны $78^\circ$, $78^\circ$ и $24^\circ$.

Ответ: $24^\circ, 78^\circ, 78^\circ$.

100. Можно ли описать окружность около четырёхугольника $ABCD$, если:

1) $\angle A = 33^\circ, \angle C = 137^\circ$;

2) $\angle B = 69^\circ, \angle D = 111^\circ$?

100. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если:

1) $\angle A = 33^\circ$, $\angle C = 137^\circ$;

2) $\angle B = 69^\circ$, $\angle D = 111^\circ$?

Для того чтобы определить, можно ли описать окружность около четырёхугольника, необходимо воспользоваться свойством вписанного четырёхугольника. Окружность можно описать около выпуклого четырёхугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

1)Проверим сумму противолежащих углов $\angle A$ и $\angle C$:
$\angle A + \angle C = 33^\circ + 137^\circ = 170^\circ$
Сумма углов не равна $180^\circ$ ($170^\circ \neq 180^\circ$). Следовательно, около данного четырёхугольника нельзя описать окружность.
Ответ: нет.

2)Проверим сумму противолежащих углов $\angle B$ и $\angle D$:
$\angle B + \angle D = 69^\circ + 111^\circ = 180^\circ$
Сумма противолежащих углов равна $180^\circ$. Следовательно, около данного четырёхугольника можно описать окружность. (Сумма другой пары противолежащих углов, $\angle A + \angle C$, также будет равна $180^\circ$, так как сумма всех углов четырёхугольника равна $360^\circ$).
Ответ: да.

101. Найдите углы $C$ и $D$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, если $\angle A = 119^\circ$, $\angle B = 84^\circ$.

101. Найдите углы C и D четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если $\angle A = 119^\circ$, $\angle B = 84^\circ$.

Для решения задачи используется свойство вписанного в окружность четырехугольника. Согласно этому свойству, сумма противолежащих углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна $180^\circ$.

В четырехугольнике $ABCD$ пары противолежащих углов — это ($\angle A$, $\angle C$) и ($\angle B$, $\angle D$). Следовательно, выполняются следующие соотношения:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

По условию задачи нам даны $\angle A = 119^\circ$ и $\angle B = 84^\circ$.

Угол $C$ является противолежащим углу $A$. Исходя из свойства, их сумма равна $180^\circ$. Выразим $\angle C$ из первого соотношения:

$\angle C = 180^\circ - \angle A$

Подставим известное значение $\angle A$:

$\angle C = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ$

Ответ: $61^\circ$.

Угол $D$ является противолежащим углу $B$. Их сумма также равна $180^\circ$. Выразим $\angle D$ из второго соотношения:

$\angle D = 180^\circ - \angle B$

Подставим известное значение $\angle B$:

$\angle D = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$

Ответ: $96^\circ$.

102. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен $42^{\circ}$. Найдите остальные углы трапеции.

102. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен $42^\circ$. Найдите остальные углы трапеции.

Основное свойство трапеции, вписанной в окружность, заключается в том, что такая трапеция всегда является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Так как она вписана в окружность, она равнобедренная. Это означает, что углы при основании $AD$ равны ($\angle A = \angle D$), и углы при основании $BC$ равны ($\angle B = \angle C$).

Также для любого четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

По условию, один из углов трапеции равен $42^\circ$. Этот угол является острым. В равнобедренной трапеции (если она не является прямоугольником) есть два равных острых угла и два равных тупых угла.

Пусть один из острых углов равен $42^\circ$. Например, $\angle A = 42^\circ$.
Поскольку трапеция равнобедренная, второй угол при том же основании также равен $42^\circ$:
$\angle D = \angle A = 42^\circ$.

Теперь найдем два других (тупых) угла. Используем свойство вписанного четырехугольника:
$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$.
Поскольку $\angle B = \angle C$, то $\angle B$ также равен $138^\circ$.
Проверим: $\angle B + \angle D = 138^\circ + 42^\circ = 180^\circ$. Все верно.

Итак, углы трапеции: $42^\circ, 42^\circ, 138^\circ, 138^\circ$. Один из них был дан, значит, остальные три угла — это $42^\circ, 138^\circ, 138^\circ$.

Ответ: $42^\circ, 138^\circ, 138^\circ$.

103. Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Угол $A$ на $58^\circ$ больше угла $B$ и в 4 раза больше угла $C$. Найдите углы четырёхугольника.

103. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $A$ на $58^\circ$ больше угла $B$ и в 4 раза больше угла $C$. Найдите углы четырёхугольника.

Пусть углы четырехугольника равны $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Это означает, что:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

Из условия задачи мы знаем следующие соотношения между углами:

1. Угол $A$ на $58^\circ$ больше угла $B$: $\angle A = \angle B + 58^\circ$.

2. Угол $A$ в 4 раза больше угла $C$: $\angle A = 4 \cdot \angle C$.

Используем свойство суммы противолежащих углов $\angle A$ и $\angle C$ и соотношение между ними из условия. Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \angle A + \angle C = 180^\circ \\ \angle A = 4 \cdot \angle C \end{array} \right.$

Подставим второе уравнение в первое:

$4 \cdot \angle C + \angle C = 180^\circ$

$5 \cdot \angle C = 180^\circ$

$\angle C = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$

Теперь найдем угол $A$:

$\angle A = 4 \cdot \angle C = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Теперь, зная угол $A$, мы можем найти угол $B$ из первого условия:

$\angle A = \angle B + 58^\circ$

$144^\circ = \angle B + 58^\circ$

$\angle B = 144^\circ - 58^\circ = 86^\circ$

Наконец, найдем угол $D$, используя свойство суммы противолежащих углов $\angle B$ и $\angle D$:

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

$86^\circ + \angle D = 180^\circ$

$\angle D = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$

Таким образом, углы четырехугольника равны: $\angle A = 144^\circ$, $\angle B = 86^\circ$, $\angle C = 36^\circ$, $\angle D = 94^\circ$.

Ответ: $144^\circ, 86^\circ, 36^\circ, 94^\circ$.