Страница 22 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Хорды MK и PF окружности пересекаются в точке E. Найдите отрезок EF, если $ME = 4 \text{ см}$, $EK = 3 \text{ см}$, $PE = 2 \text{ см}$.

149. Хорды $MK$ и $PF$ окружности пересекаются в точке $E$. Найдите отрезок $EF$, если $ME = 4$ см, $EK = 3$ см, $PE = = 2$ см.

Для решения данной задачи применяется теорема о пересекающихся хордах. Согласно этой теореме, если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Для хорд $MK$ и $PF$, пересекающихся в точке $E$, это свойство можно записать в виде формулы:
$ME \cdot EK = PE \cdot EF$

В условии задачи даны следующие значения:
$ME = 4$ см,
$EK = 3$ см,
$PE = 2$ см.

Подставим известные величины в формулу для нахождения длины отрезка $EF$:
$4 \cdot 3 = 2 \cdot EF$

Выполним умножение в левой части равенства:
$12 = 2 \cdot EF$

Теперь выразим $EF$, разделив обе части уравнения на 2:
$EF = \frac{12}{2}$
$EF = 6$ см.

Ответ: 6 см.

150. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$, $AM = 2$ см, $BM = 9$ см, а отрезок $CM$ в 2 раза больше отрезка $DM$. Найдите отрезки $CM$ и $DM$.

150. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$, $AM = 2 \text{ см}$, $BM = 9 \text{ см}$, а отрезок $CM$ в 2 раза больше отрезка $DM$. Найдите отрезки $CM$ и $DM$.

Для решения задачи используется теорема о пересекающихся хордах окружности. Согласно этой теореме, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $M$, это свойство записывается в виде формулы: $AM \cdot BM = CM \cdot DM$

По условию задачи даны:
$AM = 2$ см
$BM = 9$ см
Также известно, что отрезок $CM$ в 2 раза больше отрезка $DM$.

Обозначим длину отрезка $DM$ через $x$. Тогда, исходя из условия, длина отрезка $CM$ будет равна $2x$. $DM = x$
$CM = 2x$

Подставим известные значения в основную формулу: $2 \cdot 9 = (2x) \cdot x$ $18 = 2x^2$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$: $x^2 = \frac{18}{2}$ $x^2 = 9$

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка, его значение должно быть положительным. Извлекая квадратный корень, получаем: $x = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, мы нашли длину отрезка $DM$: $DM = x = 3$ см.

Теперь можно найти длину отрезка $CM$: $CM = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: $CM = 6$ см, $DM = 3$ см.

151. Точка K удалена на 3 см от центра окружности радиуса 5 см. Через точку K проведена хорда длиной 8 см. Найдите отрезки, на которые точка K делит эту хорду.

151. Точка K удалена на 3 см от центра окружности радиуса 5 см. Через точку K проведена хорда длиной 8 см. Найдите отрезки, на которые точка K делит эту хорду.

Пусть O — центр окружности, R — ее радиус, AB — данная хорда, а K — точка на этой хорде. Из условия задачи известны следующие величины:

• Радиус окружности: $R = 5$ см.
• Длина хорды: $AB = 8$ см.
• Расстояние от центра до точки K: $OK = 3$ см.

Требуется найти длины отрезков, на которые точка K делит хорду AB.

Для решения задачи найдем расстояние от центра окружности до хорды AB. Для этого проведем из центра O перпендикуляр OM к хорде AB. По свойству, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка M является серединой хорды AB.
Длины отрезков AM и MB равны:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. Его гипотенуза OA является радиусом окружности ($OA = R = 5$ см), а катет AM — половиной хорды ($AM = 4$ см). Найдем длину второго катета OM, который представляет собой расстояние от центра окружности до хорды AB, по теореме Пифагора:
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
$OM^2 = OA^2 - AM^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
$OM = \sqrt{9} = 3$ см.

Таким образом, расстояние от центра O до хорды AB равно 3 см. По условию задачи, точка K также удалена от центра O на 3 см ($OK = 3$ см) и при этом лежит на хорде AB.
Поскольку расстояние от точки (O) до прямой (AB) — это длина перпендикуляра (OM), а точка K лежит на прямой AB и расстояние от нее до O равно длине этого перпендикуляра ($OK = OM = 3$ см), то точка K должна совпадать с точкой M, то есть с основанием перпендикуляра.

Так как точка K совпадает с точкой M, которая является серединой хорды AB, то точка K делит хорду AB на два равных отрезка:
$AK = 4$ см и $KB = 4$ см.

Ответ: 4 см и 4 см.

152. Через точку A проведены к окружности касательная $AK$ ($K$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $E$ и $F$ (рис. 27). Найдите отрезок $AF$, если $AK = 4$ см, $AE = 8$ см.

Рис. 27

152. Через точку $A$ проведены к окружности касательная $AK$ ($K$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $E$ и $F$ (рис. 27). Найдите отрезок $AF$, если $AK = 4$ см, $AE = 8$ см.

Рис. 27

Для решения этой задачи используется теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от точки до точки касания равен произведению длины всего отрезка секущей на ее внешнюю часть.

В нашем случае, $AK$ — это касательная, а прямая, проходящая через точки $A$, $F$ и $E$, — секущая. Отрезок $AE$ — это вся секущая от точки $A$ до дальней точки пересечения с окружностью, а отрезок $AF$ — это ее внешняя часть (от точки $A$ до ближней точки пересечения).

Математически эта теорема выражается формулой:

$AK^2 = AF \cdot AE$

По условию задачи нам известны следующие длины:

• Длина касательной $AK = 4$ см.
• Длина всей секущей $AE = 8$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$4^2 = AF \cdot 8$

Выполним вычисления:

$16 = AF \cdot 8$

Теперь, чтобы найти длину отрезка $AF$, разделим обе части уравнения на 8:

$AF = \frac{16}{8}$

$AF = 2$ см.

Таким образом, длина отрезка $AF$ составляет 2 см.

Ответ: 2 см.

153. Через точку $K$ проведены к окружности касательная $KA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $K$ и $C$). Найдите отрезок $KB$, если $AK = 16$ см и $KB : BC = 1 : 3$.

153. Через точку K проведены к окружности касательная KA (A — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках B и C (точка B лежит между точками K и C). Найдите отрезок KB, если $AK = 16 \text{ см}$ и $KB : BC = 1 : 3$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этой теореме, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на её внешнюю часть.

В математическом виде это записывается так:

$AK^2 = KC \cdot KB$

По условию задачи нам известно:

• $AK = 16$ см
• $KB : BC = 1 : 3$

Введем неизвестную. Пусть $KB = x$. Тогда из соотношения $KB : BC = 1 : 3$ следует, что $BC = 3x$.

Длина всей секущей $KC$ складывается из длин отрезков $KB$ и $BC$:

$KC = KB + BC = x + 3x = 4x$

Теперь подставим все известные и выраженные значения в исходную формулу:

$16^2 = (4x) \cdot x$

Решим полученное уравнение:

$256 = 4x^2$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = \frac{256}{4}$

$x^2 = 64$

Поскольку длина отрезка — это положительная величина, извлекаем квадратный корень:

$x = \sqrt{64}$

$x = 8$

Так как мы обозначили $KB = x$, то длина искомого отрезка $KB$ равна 8 см.

Ответ: 8 см.

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 28, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 28

$15$, $47^\circ$, $18$, $10$, $47^\circ$, $12$.

154. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, изображённые на рисунке 28, подобны (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 28

$B$ $15$ $47^\circ$ $18$ $A$ $C$

$B_1$ $10$ $47^\circ$ $12$ $A_1$ $C_1$

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Этот признак гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим данные для каждого треугольника:

• В треугольнике $ABC$ даны стороны $AB = 15$ см, $BC = 18$ см и угол между ними $\angle B = 47^\circ$.
• В треугольнике $A_1B_1C_1$ даны стороны $A_1B_1 = 10$ см, $B_1C_1 = 12$ см и угол между ними $\angle B_1 = 47^\circ$.

Проверим выполнение двух условий этого признака.

1. Равенство углов

Углы, заключённые между данными сторонами в обоих треугольниках, равны:

$\angle B = \angle B_1 = 47^\circ$

Первое условие выполняется.

2. Пропорциональность сторон

Найдём отношения длин соответственных сторон, образующих эти углы:

Отношение сторон $AB$ и $A_1B_1$: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

Отношение сторон $BC$ и $B_1C_1$: $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Так как отношения равны $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{3}{2}$, то стороны пропорциональны. Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия второго признака подобия выполнены, мы можем заключить, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$ ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$).

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), так как $\angle B = \angle B_1$ и стороны, образующие эти углы, пропорциональны ($\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$). Что и требовалось доказать.