Страница 28 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Решите прямоугольный треугольник $ABC (\angle C=90^\circ)$ по известным элементам:

1) $AB = 10 \text{ см}, \angle A = 47^\circ$;

2) $AC = 9 \text{ см}, \angle A = 43^\circ$;

3) $AB = 8 \text{ см}, AC = 5 \text{ см}$;

4) $AC = 8 \text{ см}, BC = 5 \text{ см}$.

201. Решите прямоугольный треугольник ABC ($ \angle C = 90^\circ $) по известным элементам:

1) $AB = 10 \text{ см}$, $ \angle A = 47^\circ $;

2) $AC = 9 \text{ см}$, $ \angle A = 43^\circ $;

3) $AB = 8 \text{ см}$, $AC = 5 \text{ см}$;

4) $AC = 8 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$.

1)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известны гипотенуза $AB = 10$ см и острый угол $\angle A = 47^\circ$. Необходимо найти второй острый угол $\angle B$ и катеты $AC$ и $BC$.

1. Находим угол $\angle B$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, следовательно:

$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 47^\circ = 43^\circ$.

2. Находим катет $BC$. Катет $BC$ является противолежащим к углу $\angle A$. Воспользуемся определением синуса:

$\sin A = \frac{BC}{AB}$

Отсюда, $BC = AB \cdot \sin A = 10 \cdot \sin 47^\circ \approx 10 \cdot 0.7314 \approx 7.31$ см.

3. Находим катет $AC$. Катет $AC$ является прилежащим к углу $\angle A$. Воспользуемся определением косинуса:

$\cos A = \frac{AC}{AB}$

Отсюда, $AC = AB \cdot \cos A = 10 \cdot \cos 47^\circ \approx 10 \cdot 0.6820 \approx 6.82$ см.

Ответ: $\angle B = 43^\circ$, $AC \approx 6.82$ см, $BC \approx 7.31$ см.

2)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известны катет $AC = 9$ см и острый угол $\angle A = 43^\circ$. Необходимо найти второй острый угол $\angle B$, гипотенузу $AB$ и катет $BC$.

1. Находим угол $\angle B$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 43^\circ = 47^\circ$.

2. Находим гипотенузу $AB$. Катет $AC$ является прилежащим к углу $\angle A$. Воспользуемся определением косинуса:

$\cos A = \frac{AC}{AB}$

Отсюда, $AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{9}{\cos 43^\circ} \approx \frac{9}{0.7314} \approx 12.31$ см.

3. Находим катет $BC$. Катет $BC$ является противолежащим к углу $\angle A$. Воспользуемся определением тангенса:

$\tan A = \frac{BC}{AC}$

Отсюда, $BC = AC \cdot \tan A = 9 \cdot \tan 43^\circ \approx 9 \cdot 0.9325 \approx 8.39$ см.

Ответ: $\angle B = 47^\circ$, $AB \approx 12.31$ см, $BC \approx 8.39$ см.

3)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известны гипотенуза $AB = 8$ см и катет $AC = 5$ см. Необходимо найти катет $BC$ и острые углы $\angle A$ и $\angle B$.

1. Находим катет $BC$ по теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:

$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - 5^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39}$ см.

Приблизительное значение: $BC \approx 6.24$ см.

2. Находим угол $\angle A$. Используем определение косинуса, так как известны прилежащий катет $AC$ и гипотенуза $AB$:

$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{8} = 0.625$.

$\angle A = \arccos(0.625) \approx 51.3^\circ$.

3. Находим угол $\angle B$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A \approx 90^\circ - 51.3^\circ = 38.7^\circ$.

Ответ: $BC = \sqrt{39} \approx 6.24$ см, $\angle A \approx 51.3^\circ$, $\angle B \approx 38.7^\circ$.

4)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известны катеты $AC = 8$ см и $BC = 5$ см. Необходимо найти гипотенузу $AB$ и острые углы $\angle A$ и $\angle B$.

1. Находим гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$ см.

Приблизительное значение: $AB \approx 9.43$ см.

2. Находим угол $\angle A$. Используем определение тангенса, так как известны противолежащий катет $BC$ и прилежащий катет $AC$:

$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{8} = 0.625$.

$\angle A = \arctan(0.625) \approx 32.0^\circ$.

3. Находим угол $\angle B$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A \approx 90^\circ - 32.0^\circ = 58.0^\circ$.

Ответ: $AB = \sqrt{89} \approx 9.43$ см, $\angle A \approx 32.0^\circ$, $\angle B \approx 58.0^\circ$.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 6$ см, $\angle A = 58^\circ$. Найдите сторону $AC$ и высоту $BD$ треугольника.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 6 \text{ см}$, $\angle A = 58^\circ$. Найдите сторону $AC$ и высоту $BD$ треугольника.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 6$ см, а угол при основании $AC$ равен $\angle A = 58^\circ$. Необходимо найти длину основания $AC$ и высоту $BD$.

Проведем высоту $BD$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что:

• $BD$ перпендикулярна $AC$, поэтому треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BDA = 90^\circ$.
• $BD$ делит основание $AC$ пополам, то есть $AD = DC$, и, следовательно, $AC = 2 \cdot AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. В нем известна гипотенуза $AB = 6$ см и острый угол $\angle A = 58^\circ$. Используя тригонометрические соотношения, мы можем найти катеты $AD$ и $BD$.

Нахождение стороны AC

Катет $AD$ является прилежащим к углу $A$. Его можно найти, используя косинус угла $A$:

$\cos(\angle A) = \frac{AD}{AB}$

Выразим $AD$ из этой формулы:

$AD = AB \cdot \cos(\angle A) = 6 \cdot \cos(58^\circ)$

Поскольку $AC = 2 \cdot AD$, то:

$AC = 2 \cdot (6 \cdot \cos(58^\circ)) = 12 \cdot \cos(58^\circ)$

Вычислим приближенное значение, используя $\cos(58^\circ) \approx 0.5299$:

$AC \approx 12 \cdot 0.5299 \approx 6.3588 \text{ см}$

Округляя до сотых, получаем $AC \approx 6.36$ см.

Ответ: $AC = 12 \cos(58^\circ) \text{ см} \approx 6.36 \text{ см}$.

Нахождение высоты BD

Катет $BD$ является противолежащим углу $A$. Его можно найти, используя синус угла $A$:

$\sin(\angle A) = \frac{BD}{AB}$

Выразим $BD$ из этой формулы:

$BD = AB \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot \sin(58^\circ)$

Вычислим приближенное значение, используя $\sin(58^\circ) \approx 0.8480$:

$BD \approx 6 \cdot 0.8480 \approx 5.088 \text{ см}$

Округляя до сотых, получаем $BD \approx 5.09$ см.

Ответ: $BD = 6 \sin(58^\circ) \text{ см} \approx 5.09 \text{ см}$.

203. Из точки, находящейся на расстоянии 12 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длины наклонных.

203. Из точки, находящейся на расстоянии 12 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длины наклонных.

Пусть из точки $A$ к прямой $l$ проведен перпендикуляр $AH$. Длина этого перпендикуляра является расстоянием от точки до прямой, следовательно, $AH = 12$ см. Также из точки $A$ к прямой $l$ проведены две наклонные, $AB$ и $AC$, которые образуют с этой прямой углы $45°$ и $60°$ соответственно. Это означает, что $\angle ABH = 45°$ и $\angle ACH = 60°$. Перпендикуляр $AH$ и наклонные $AB$ и $AC$ со своими проекциями $HB$ и $HC$ образуют два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. В этих треугольниках $AH$ — общий катет, а наклонные $AB$ и $AC$ — гипотенузы. Найдем длины этих гипотенуз.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$, в котором катет $AH = 12$ см, а прилежащий к проекции угол $\angle ABH = 45°$. Гипотенуза $AB$ — это искомая длина наклонной. Связь между противолежащим катетом, гипотенузой и углом выражается через синус: $ \sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB} $. Отсюда можно выразить гипотенузу: $ AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} $.

Подставим числовые значения: $ AB = \frac{12}{\sin(45°)} $. Так как $ \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то:

$ AB = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2} $ см.

Ответ: $12\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$, в котором катет $AH = 12$ см, а угол $\angle ACH = 60°$. Гипотенуза $AC$ — это длина второй наклонной. Используем ту же формулу: $ AC = \frac{AH}{\sin(\angle ACH)} $.

Подставим числовые значения: $ AC = \frac{12}{\sin(60°)} $. Так как $ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то:

$ AC = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} $ см.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см.

204. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

204. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

Пусть точка A — это точка, из которой проведены наклонные, а прямая l — это прямая, к которой они проведены. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим основание перпендикуляра как H. Таким образом, $AH \perp l$ и $AH = 8$ см.

Пусть AB и AC — две наклонные, проведенные из точки A к прямой l, где B и C — их основания. Углы, которые наклонные образуют с прямой, — это углы $\angle ABH$ и $\angle ACH$. По условию, один из них равен $30^\circ$, а другой $45^\circ$. Пусть $\angle ABH = 30^\circ$ и $\angle ACH = 45^\circ$.

Мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ (с прямыми углами при вершине H). Найдем длины проекций наклонных на прямую l, то есть отрезки HB и HC.

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$:Катет $AH = 8$ см, а прилежащий к катету HB угол $\angle ABH = 30^\circ$.Из определения тангенса: $\text{tg}(\angle ABH) = \frac{AH}{HB}$.Отсюда находим длину проекции HB:$HB = \frac{AH}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см.

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$:Катет $AH = 8$ см, а прилежащий к катету HC угол $\angle ACH = 45^\circ$.Из определения тангенса: $\text{tg}(\angle ACH) = \frac{AH}{HC}$.Отсюда находим длину проекции HC:$HC = \frac{AH}{\text{tg}(45^\circ)} = \frac{8}{1} = 8$ см.

Расстояние между основаниями наклонных — это длина отрезка BC. Существует два возможных варианта расположения точек B и C на прямой l относительно точки H.

Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Случай 1: Основания наклонных B и C лежат по разные стороны от основания перпендикуляра H.В этом случае расстояние BC равно сумме длин проекций HB и HC.$BC = HB + HC = 8\sqrt{3} + 8 = 8(\sqrt{3} + 1)$ см.

Случай 2: Основания наклонных B и C лежат по одну сторону от основания перпендикуляра H.В этом случае расстояние BC равно модулю разности длин проекций HB и HC.$BC = |HB - HC| = |8\sqrt{3} - 8| = 8(\sqrt{3} - 1)$ см (так как $8\sqrt{3} > 8$).

Таким образом, расстояние между основаниями наклонных может принимать два значения.
Ответ: $8(\sqrt{3} + 1)$ см или $8(\sqrt{3} - 1)$ см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существуют два возможных геометрических расположения наклонных, которые удовлетворяют условиям задачи, и для каждого из них получается свое значение расстояния между основаниями, то задача имеет два решения.
Ответ: 2.

205. Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна $a$, а диагональ $AC$ образует со стороной $AD$ угол $\alpha$. Найдите неизвестную сторону и диагональ прямоугольника.

205. Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна $a$, а диагональ $AC$ образует со стороной $AD$ угол $\alpha$. Найдите неизвестную сторону и диагональ прямоугольника.

Пусть ABCD — данный прямоугольник. По условию, сторона $AB = a$. Диагональ AC образует со стороной AD угол $α$, то есть $∠CAD = α$.

Поскольку ABCD — прямоугольник, то $∠D = 90^\circ$, и противоположные стороны равны, следовательно, $CD = AB = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем CD и AD — катеты, а AC — гипотенуза. Нам известны катет $CD=a$ и противолежащий ему угол $∠CAD = α$.

Неизвестная сторона

Неизвестная сторона — это AD. В прямоугольном треугольнике ADC она является катетом, прилежащим к углу $α$. Катет CD является противолежащим этому углу. Связь между двумя катетами и углом выражается через тангенс или котангенс.
$cot(α) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{AD}{CD}$
Подставим известное значение $CD = a$:
$cot(α) = \frac{AD}{a}$
Отсюда находим AD:
$AD = a \cdot cot(α)$
Ответ: $a \cdot cot(α)$.

Диагональ

Диагональ — это гипотенуза AC. В прямоугольном треугольнике ADC связь между противолежащим катетом CD, гипотенузой AC и углом $α$ выражается через синус.
$sin(α) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{AC}$
Подставим известное значение $CD = a$:
$sin(α) = \frac{a}{AC}$
Отсюда находим AC:
$AC = \frac{a}{sin(α)}$
Ответ: $\frac{a}{sin(α)}$.

206. Меньшая диагональ ромба равна $m$, а острый угол ромба равен $\alpha$. Найдите сторону ромба и его большую диагональ.

206. Меньшая диагональ ромба равна $m$, а острый угол ромба равен $\alpha$. Найдите сторону ромба и его большую диагональ.

Пусть дан ромб со стороной $a$, острым углом $\alpha$, меньшей диагональю $d_1 = m$ и большей диагональю $d_2$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, образованных диагоналями. Гипотенузой этого треугольника будет сторона ромба $a$, а катетами — половины диагоналей: $\frac{d_1}{2} = \frac{m}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Углы в этом треугольнике (кроме прямого) будут равны $\frac{\alpha}{2}$ и $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Меньшая диагональ лежит против острого угла ромба, следовательно, катет $\frac{m}{2}$ лежит против угла $\frac{\alpha}{2}$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\frac{\alpha}{2}$:
$sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{m/2}{a}$
Отсюда выразим сторону ромба $a$:
$a = \frac{m/2}{sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m}{2sin(\frac{\alpha}{2})}$
Ответ: Сторона ромба равна $\frac{m}{2sin(\frac{\alpha}{2})}$.

В том же прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\frac{\alpha}{2}$:
$tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{m/2}{d_2/2} = \frac{m}{d_2}$
Отсюда выразим большую диагональ $d_2$:
$d_2 = \frac{m}{tan(\frac{\alpha}{2})} = m \cdot ctg(\frac{\alpha}{2})$
Ответ: Большая диагональ ромба равна $m \cdot ctg(\frac{\alpha}{2})$.

207. Используя данные рисунка 33, найдите отрезки AD и CD.

Рис. 33

На рисунке изображены треугольники $ABC$ и $ADC$. В треугольнике $ABC$ угол $C$ является прямым. Угол $B$ равен $\alpha$. Сторона $BC$ обозначена как $a$. В треугольнике $ADC$ угол $D$ является прямым. Угол $CAD$ равен $\beta$.

На рисунке изображены треугольники $ABC$ и $BDC$. В треугольнике $ABC$ угол $B$ является прямым. Сторона $AB$ обозначена как $a$. Угол $BAC$ равен $\beta$. В треугольнике $BDC$ угол $D$ является прямым. Угол $BCD$ равен $\alpha$.

207. Используя данные рисунка 33, найдите отрезки AD и CD.

Рис. 33

a

Вершины: B, C, A, D

Длина стороны: $a$

Угловые обозначения: $\alpha$, $\beta$

Прямые углы: $\angle C = 90^\circ$, $\angle D = 90^\circ$

б

Вершины: B, A, C, D

Длина стороны: $a$

Угловые обозначения: $\alpha$, $\beta$

Прямые углы: $\angle B = 90^\circ$, $\angle D = 90^\circ$

а

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔABC$ с прямым углом $C$ ($∠BCA = 90^\circ$). В этом треугольнике известны катет $BC = a$ и противолежащий ему угол $∠BAC = \alpha$. Нам нужно найти длину другого катета $AC$, который является общей стороной для треугольников $ΔABC$ и $ΔADC$.

Используем определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$ \tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} $

Отсюда выразим катет $AC$:

$ AC = \frac{BC}{\tan(\alpha)} = \frac{a}{\tan(\alpha)} = a \cot(\alpha) $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔADC$ с прямым углом $D$ ($∠ADC = 90^\circ$). Сторона $AC$ является гипотенузой этого треугольника. Нам известен угол $∠CAD = \beta$.

Для нахождения катета $AD$, который является прилежащим к углу $β$, используем определение косинуса:

$ \cos(\beta) = \frac{AD}{AC} $

Выразим $AD$ и подставим найденное значение $AC$:

$ AD = AC \cdot \cos(\beta) = a \cot(\alpha) \cos(\beta) $

Для нахождения катета $CD$, который является противолежащим углу $β$, используем определение синуса:

$ \sin(\beta) = \frac{CD}{AC} $

Выразим $CD$ и подставим найденное значение $AC$:

$ CD = AC \cdot \sin(\beta) = a \cot(\alpha) \sin(\beta) $

Ответ: $ AD = a \cot(\alpha) \cos(\beta) $, $ CD = a \cot(\alpha) \sin(\beta) $.

б

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔABC$ с прямым углом $B$ ($∠ABC = 90^\circ$). В этом треугольнике известны катет $AB = a$ и противолежащий ему угол $∠ACB = \alpha$. Сторона $AC$ является гипотенузой и общей стороной для треугольников $ΔABC$ и $ΔADC$.

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$ \sin(\alpha) = \frac{AB}{AC} $

Отсюда выразим гипотенузу $AC$:

$ AC = \frac{AB}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(\alpha)} $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔADC$ с прямым углом $D$ ($∠ADC = 90^\circ$). Сторона $AC$ является гипотенузой этого треугольника. Нам известен угол $∠CAD = \beta$.

Для нахождения катета $AD$, который является прилежащим к углу $β$, используем определение косинуса:

$ \cos(\beta) = \frac{AD}{AC} $

Выразим $AD$ и подставим найденное значение $AC$:

$ AD = AC \cdot \cos(\beta) = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \cos(\beta) = \frac{a \cos(\beta)}{\sin(\alpha)} $

Для нахождения катета $CD$, который является противолежащим углу $β$, используем определение синуса:

$ \sin(\beta) = \frac{CD}{AC} $

Выразим $CD$ и подставим найденное значение $AC$:

$ CD = AC \cdot \sin(\beta) = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\beta) = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} $

Ответ: $ AD = \frac{a \cos(\beta)}{\sin(\alpha)} $, $ CD = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} $.