Номер 201, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Решите прямоугольный треугольник $ABC (\angle C=90^\circ)$ по известным элементам:

1) $AB = 10 \text{ см}, \angle A = 47^\circ$;

2) $AC = 9 \text{ см}, \angle A = 43^\circ$;

3) $AB = 8 \text{ см}, AC = 5 \text{ см}$;

4) $AC = 8 \text{ см}, BC = 5 \text{ см}$.

201. Решите прямоугольный треугольник ABC ($ \angle C = 90^\circ $) по известным элементам:

1) $AB = 10 \text{ см}$, $ \angle A = 47^\circ $;

2) $AC = 9 \text{ см}$, $ \angle A = 43^\circ $;

3) $AB = 8 \text{ см}$, $AC = 5 \text{ см}$;

4) $AC = 8 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$.

1)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известны гипотенуза $AB = 10$ см и острый угол $\angle A = 47^\circ$. Необходимо найти второй острый угол $\angle B$ и катеты $AC$ и $BC$.

1. Находим угол $\angle B$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, следовательно:

$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 47^\circ = 43^\circ$.

2. Находим катет $BC$. Катет $BC$ является противолежащим к углу $\angle A$. Воспользуемся определением синуса:

$\sin A = \frac{BC}{AB}$

Отсюда, $BC = AB \cdot \sin A = 10 \cdot \sin 47^\circ \approx 10 \cdot 0.7314 \approx 7.31$ см.

3. Находим катет $AC$. Катет $AC$ является прилежащим к углу $\angle A$. Воспользуемся определением косинуса:

$\cos A = \frac{AC}{AB}$

Отсюда, $AC = AB \cdot \cos A = 10 \cdot \cos 47^\circ \approx 10 \cdot 0.6820 \approx 6.82$ см.

Ответ: $\angle B = 43^\circ$, $AC \approx 6.82$ см, $BC \approx 7.31$ см.

2)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известны катет $AC = 9$ см и острый угол $\angle A = 43^\circ$. Необходимо найти второй острый угол $\angle B$, гипотенузу $AB$ и катет $BC$.

1. Находим угол $\angle B$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 43^\circ = 47^\circ$.

2. Находим гипотенузу $AB$. Катет $AC$ является прилежащим к углу $\angle A$. Воспользуемся определением косинуса:

$\cos A = \frac{AC}{AB}$

Отсюда, $AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{9}{\cos 43^\circ} \approx \frac{9}{0.7314} \approx 12.31$ см.

3. Находим катет $BC$. Катет $BC$ является противолежащим к углу $\angle A$. Воспользуемся определением тангенса:

$\tan A = \frac{BC}{AC}$

Отсюда, $BC = AC \cdot \tan A = 9 \cdot \tan 43^\circ \approx 9 \cdot 0.9325 \approx 8.39$ см.

Ответ: $\angle B = 47^\circ$, $AB \approx 12.31$ см, $BC \approx 8.39$ см.

3)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известны гипотенуза $AB = 8$ см и катет $AC = 5$ см. Необходимо найти катет $BC$ и острые углы $\angle A$ и $\angle B$.

1. Находим катет $BC$ по теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:

$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - 5^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39}$ см.

Приблизительное значение: $BC \approx 6.24$ см.

2. Находим угол $\angle A$. Используем определение косинуса, так как известны прилежащий катет $AC$ и гипотенуза $AB$:

$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{8} = 0.625$.

$\angle A = \arccos(0.625) \approx 51.3^\circ$.

3. Находим угол $\angle B$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A \approx 90^\circ - 51.3^\circ = 38.7^\circ$.

Ответ: $BC = \sqrt{39} \approx 6.24$ см, $\angle A \approx 51.3^\circ$, $\angle B \approx 38.7^\circ$.

4)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известны катеты $AC = 8$ см и $BC = 5$ см. Необходимо найти гипотенузу $AB$ и острые углы $\angle A$ и $\angle B$.

1. Находим гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$ см.

Приблизительное значение: $AB \approx 9.43$ см.

2. Находим угол $\angle A$. Используем определение тангенса, так как известны противолежащий катет $BC$ и прилежащий катет $AC$:

$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{8} = 0.625$.

$\angle A = \arctan(0.625) \approx 32.0^\circ$.

3. Находим угол $\angle B$:

$\angle B = 90^\circ - \angle A \approx 90^\circ - 32.0^\circ = 58.0^\circ$.

Ответ: $AB = \sqrt{89} \approx 9.43$ см, $\angle A \approx 32.0^\circ$, $\angle B \approx 58.0^\circ$.