Номер 194, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

194. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 5 см и 13 см. Найдите:

1) синус угла, противолежащего меньшему катету;

2) косинус угла, прилежащего к большему катету;

3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету.

194. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 5 см и 13 см. Найдите:

1) синус угла, противолежащего меньшему катету;

2) косинус угла, прилежащего к большему катету;

3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого один катет равен 5 см, а гипотенуза равна 13 см. Обозначим этот катет как $a = 5$ см, а гипотенузу как $c = 13$ см.

Для решения задачи сначала необходимо найти длину второго катета, обозначим его $b$. Воспользуемся теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения:
$5^2 + b^2 = 13^2$
$25 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 25$
$b^2 = 144$
$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника:

• меньший катет $a = 5$ см;
• больший катет $b = 12$ см;
• гипотенуза $c = 13$ см.

Пусть $\alpha$ — это угол, противолежащий меньшему катету ($a=5$), а $\beta$ — угол, противолежащий большему катету ($b=12$).

1) синус угла, противолежащего меньшему катету;
Нужно найти синус угла $\alpha$. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}$.
Ответ: $\frac{5}{13}$.

2) косинус угла, прилежащего к большему катету;
Больший катет — это $b=12$ см. Острый угол, прилежащий к этому катету, — это угол $\alpha$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\frac{12}{13}$.

3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету.
Угол, противолежащий меньшему катету ($a=5$), — это угол $\alpha$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{12}$.