Номер 196, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Найдите $\sin\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{4}$.

196. Найдите $ \sin\alpha $, $ \operatorname{tg}\alpha $ и $ \operatorname{ctg}\alpha $, если $ \cos\alpha = \frac{1}{4} $.

sinα
Для нахождения $sinα$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2α + cos^2α = 1$.
Подставим в него известное значение $cosα = \frac{1}{4}$:
$sin^2α + (\frac{1}{4})^2 = 1$
$sin^2α + \frac{1}{16} = 1$
$sin^2α = 1 - \frac{1}{16}$
$sin^2α = \frac{15}{16}$
Поскольку в условии не указана четверть, в которой находится угол $α$, $sinα$ может быть как положительным (в I четверти), так и отрицательным (в IV четверти). Поэтому мы получаем два возможных значения:
$sinα = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.
Ответ: $sinα = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.

tgα
Для нахождения $tgα$ используем формулу $tgα = \frac{sinα}{cosα}$.
Так как $sinα$ имеет два возможных значения, для $tgα$ мы также получим два значения:
1. Если $sinα = \frac{\sqrt{15}}{4}$, то $tgα = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15}$.
2. Если $sinα = -\frac{\sqrt{15}}{4}$, то $tgα = \frac{-\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = -\sqrt{15}$.
Ответ: $tgα = \pm\sqrt{15}$.

ctgα
Для нахождения $ctgα$ используем формулу $ctgα = \frac{1}{tgα}$.
Подставим найденные значения $tgα$:
1. Если $tgα = \sqrt{15}$, то $ctgα = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$.
2. Если $tgα = -\sqrt{15}$, то $ctgα = \frac{1}{-\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15}$.
Ответ: $ctgα = \pm\frac{\sqrt{15}}{15}$.