Номер 203, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Из точки, находящейся на расстоянии 12 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длины наклонных.

203. Из точки, находящейся на расстоянии 12 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длины наклонных.

Пусть из точки $A$ к прямой $l$ проведен перпендикуляр $AH$. Длина этого перпендикуляра является расстоянием от точки до прямой, следовательно, $AH = 12$ см. Также из точки $A$ к прямой $l$ проведены две наклонные, $AB$ и $AC$, которые образуют с этой прямой углы $45°$ и $60°$ соответственно. Это означает, что $\angle ABH = 45°$ и $\angle ACH = 60°$. Перпендикуляр $AH$ и наклонные $AB$ и $AC$ со своими проекциями $HB$ и $HC$ образуют два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. В этих треугольниках $AH$ — общий катет, а наклонные $AB$ и $AC$ — гипотенузы. Найдем длины этих гипотенуз.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$, в котором катет $AH = 12$ см, а прилежащий к проекции угол $\angle ABH = 45°$. Гипотенуза $AB$ — это искомая длина наклонной. Связь между противолежащим катетом, гипотенузой и углом выражается через синус: $ \sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB} $. Отсюда можно выразить гипотенузу: $ AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} $.

Подставим числовые значения: $ AB = \frac{12}{\sin(45°)} $. Так как $ \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то:

$ AB = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2} $ см.

Ответ: $12\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$, в котором катет $AH = 12$ см, а угол $\angle ACH = 60°$. Гипотенуза $AC$ — это длина второй наклонной. Используем ту же формулу: $ AC = \frac{AH}{\sin(\angle ACH)} $.

Подставим числовые значения: $ AC = \frac{12}{\sin(60°)} $. Так как $ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то:

$ AC = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} $ см.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см.