Номер 210, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. В трапеции $ABCD$ (рис. 35) $AB = 8$ см, $BC = 4$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle D = 120^\circ$. Найдите основание $AD$ трапеции.

Рис. 35

210. В трапеции $ABCD$ (рис. 35) $AB = 8$ см, $BC = 4$ см, $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle D = 120^{\circ}$. Найдите основание $AD$ трапеции.

Рис. 35

Для нахождения длины основания $AD$ трапеции $ABCD$ воспользуемся методом дополнительного построения.

1. Проведем из вершины $C$ отрезок $CM$, параллельный боковой стороне $AB$, так, чтобы точка $M$ лежала на основании $AD$.

2. Полученный четырехугольник $ABCM$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel AD$ по определению трапеции, $CM \parallel AB$ по построению). Из свойств параллелограмма следует, что длины его противоположных сторон равны:

$AM = BC = 4$ см

$CM = AB = 8$ см

3. Теперь рассмотрим треугольник $CMD$. Нам известны некоторые его элементы:

• Сторона $CM = 8$ см.
• Угол $\angle CDM$ совпадает с углом $\angle D$ трапеции, следовательно, $\angle CDM = 120^\circ$.
• Поскольку $CM \parallel AB$ и $AD$ является секущей, углы $\angle CMD$ и $\angle A$ являются соответственными. Следовательно, $\angle CMD = \angle A = 30^\circ$.

4. Зная два угла в треугольнике $CMD$, найдем третий угол $\angle MCD$:

$\angle MCD = 180^\circ - (\angle CDM + \angle CMD) = 180^\circ - (120^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

5. Так как $\angle CMD = \angle MCD = 30^\circ$, треугольник $CMD$ является равнобедренным. Нам необходимо найти длину стороны $MD$. Для этого применим теорему синусов к треугольнику $CMD$:

$\frac{MD}{\sin(\angle MCD)} = \frac{CM}{\sin(\angle CDM)}$

Подставим известные значения:

$\frac{MD}{\sin(30^\circ)} = \frac{8}{\sin(120^\circ)}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, выразим $MD$:

$MD = \frac{8 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

6. Длина основания $AD$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MD$:

$AD = AM + MD = 4 + \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $4 + \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.