Номер 204, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

204. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

Пусть точка A — это точка, из которой проведены наклонные, а прямая l — это прямая, к которой они проведены. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим основание перпендикуляра как H. Таким образом, $AH \perp l$ и $AH = 8$ см.

Пусть AB и AC — две наклонные, проведенные из точки A к прямой l, где B и C — их основания. Углы, которые наклонные образуют с прямой, — это углы $\angle ABH$ и $\angle ACH$. По условию, один из них равен $30^\circ$, а другой $45^\circ$. Пусть $\angle ABH = 30^\circ$ и $\angle ACH = 45^\circ$.

Мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ (с прямыми углами при вершине H). Найдем длины проекций наклонных на прямую l, то есть отрезки HB и HC.

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$:Катет $AH = 8$ см, а прилежащий к катету HB угол $\angle ABH = 30^\circ$.Из определения тангенса: $\text{tg}(\angle ABH) = \frac{AH}{HB}$.Отсюда находим длину проекции HB:$HB = \frac{AH}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$ см.

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$:Катет $AH = 8$ см, а прилежащий к катету HC угол $\angle ACH = 45^\circ$.Из определения тангенса: $\text{tg}(\angle ACH) = \frac{AH}{HC}$.Отсюда находим длину проекции HC:$HC = \frac{AH}{\text{tg}(45^\circ)} = \frac{8}{1} = 8$ см.

Расстояние между основаниями наклонных — это длина отрезка BC. Существует два возможных варианта расположения точек B и C на прямой l относительно точки H.

Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Случай 1: Основания наклонных B и C лежат по разные стороны от основания перпендикуляра H.В этом случае расстояние BC равно сумме длин проекций HB и HC.$BC = HB + HC = 8\sqrt{3} + 8 = 8(\sqrt{3} + 1)$ см.

Случай 2: Основания наклонных B и C лежат по одну сторону от основания перпендикуляра H.В этом случае расстояние BC равно модулю разности длин проекций HB и HC.$BC = |HB - HC| = |8\sqrt{3} - 8| = 8(\sqrt{3} - 1)$ см (так как $8\sqrt{3} > 8$).

Таким образом, расстояние между основаниями наклонных может принимать два значения.
Ответ: $8(\sqrt{3} + 1)$ см или $8(\sqrt{3} - 1)$ см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существуют два возможных геометрических расположения наклонных, которые удовлетворяют условиям задачи, и для каждого из них получается свое значение расстояния между основаниями, то задача имеет два решения.
Ответ: 2.