Номер 199, страница 27 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. В равнобокой трапеции ABCD известно, что $AB = CD = 4 \text{ см}$, $BC = 6 \text{ см}$, $AD = 10 \text{ см}$. Найдите углы трапеции.

199. В равнобокой трапеции ABCD известно, что $AB = CD = 4$ см, $BC = 6$ см, $AD = 10$ см. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи известны длины сторон: боковые стороны $AB = CD = 4$ см, меньшее основание $BC = 6$ см, большее основание $AD = 10$ см.

Для нахождения углов трапеции проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а высоты перпендикулярны основанию ($BH \perp AD$ и $CK \perp AD$), то четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником. Из этого следует, что противолежащие стороны равны: $HK = BC = 6$ см.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобокая, то прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету, так как $AB=CD$ по условию, а $BH=CK$ как высоты трапеции). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH = KD$.

Длина большего основания $AD$ складывается из длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$: $AD = AH + HK + KD$. Заменим $KD$ на $AH$ и подставим известные значения:

$10 = AH + 6 + AH$

$10 = 2 \cdot AH + 6$

$2 \cdot AH = 10 - 6$

$2 \cdot AH = 4$

$AH = 2$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Мы знаем длину гипотенузы $AB = 4$ см и катета $AH = 2$ см, прилежащего к углу $\angle A$. Мы можем найти величину угла $\angle A$ через косинус:

$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $60^\circ$. Следовательно, $\angle A = 60^\circ$.

В равнобокой трапеции углы при основаниях равны. Значит, угол при другом конце большего основания также равен $60^\circ$:

$\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем углы при меньшем основании:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Таким образом, углы трапеции $A, B, C, D$ равны соответственно $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$ и $60^\circ$.