Номер 202, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 6$ см, $\angle A = 58^\circ$. Найдите сторону $AC$ и высоту $BD$ треугольника.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 6 \text{ см}$, $\angle A = 58^\circ$. Найдите сторону $AC$ и высоту $BD$ треугольника.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 6$ см, а угол при основании $AC$ равен $\angle A = 58^\circ$. Необходимо найти длину основания $AC$ и высоту $BD$.

Проведем высоту $BD$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что:

• $BD$ перпендикулярна $AC$, поэтому треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BDA = 90^\circ$.
• $BD$ делит основание $AC$ пополам, то есть $AD = DC$, и, следовательно, $AC = 2 \cdot AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. В нем известна гипотенуза $AB = 6$ см и острый угол $\angle A = 58^\circ$. Используя тригонометрические соотношения, мы можем найти катеты $AD$ и $BD$.

Нахождение стороны AC

Катет $AD$ является прилежащим к углу $A$. Его можно найти, используя косинус угла $A$:

$\cos(\angle A) = \frac{AD}{AB}$

Выразим $AD$ из этой формулы:

$AD = AB \cdot \cos(\angle A) = 6 \cdot \cos(58^\circ)$

Поскольку $AC = 2 \cdot AD$, то:

$AC = 2 \cdot (6 \cdot \cos(58^\circ)) = 12 \cdot \cos(58^\circ)$

Вычислим приближенное значение, используя $\cos(58^\circ) \approx 0.5299$:

$AC \approx 12 \cdot 0.5299 \approx 6.3588 \text{ см}$

Округляя до сотых, получаем $AC \approx 6.36$ см.

Ответ: $AC = 12 \cos(58^\circ) \text{ см} \approx 6.36 \text{ см}$.

Нахождение высоты BD

Катет $BD$ является противолежащим углу $A$. Его можно найти, используя синус угла $A$:

$\sin(\angle A) = \frac{BD}{AB}$

Выразим $BD$ из этой формулы:

$BD = AB \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot \sin(58^\circ)$

Вычислим приближенное значение, используя $\sin(58^\circ) \approx 0.8480$:

$BD \approx 6 \cdot 0.8480 \approx 5.088 \text{ см}$

Округляя до сотых, получаем $BD \approx 5.09$ см.

Ответ: $BD = 6 \sin(58^\circ) \text{ см} \approx 5.09 \text{ см}$.