Номер 209, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (рис. 34) $ \angle C = 90^\circ $, $ AB = c $, $ \angle BAC = \alpha $, $ \angle KAC = \beta $. Найдите отрезок $BK$.

Рис. 34

209. В прямоугольном треугольнике ABC (рис. 34) $ \angle C = 90^\circ $, $ AB = c $, $ \angle BAC = \alpha $, $ \angle KAC = \beta $. Найдите отрезок BK.

Рис. 34

Чтобы найти длину отрезка BK, представим его как разность длин отрезков BC и KC: $BK = BC - KC$. Нам нужно найти длины BC и KC, используя данные задачи.

1. Нахождение BC и AC из треугольника ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где $\angle C = 90^\circ$.
Катет BC противолежит углу $\angle BAC = \alpha$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\alpha) = \frac{BC}{AB}$.
Отсюда, зная, что $AB = c$:
$BC = AB \cdot \sin(\alpha) = c \sin(\alpha)$.

Катет AC прилежит к углу $\angle BAC = \alpha$. По определению косинуса:
$\cos(\alpha) = \frac{AC}{AB}$.
Отсюда:
$AC = AB \cdot \cos(\alpha) = c \cos(\alpha)$.

2. Нахождение KC из треугольника AKC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKC, где $\angle C = 90^\circ$.
Катет KC противолежит углу $\angle KAC = \beta$. По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:
$\tan(\beta) = \frac{KC}{AC}$.
Отсюда:
$KC = AC \cdot \tan(\beta)$.

Подставим выражение для AC, которое мы нашли в шаге 1:
$KC = (c \cos(\alpha)) \cdot \tan(\beta) = c \cos(\alpha) \tan(\beta)$.

3. Нахождение BK.

Теперь, когда у нас есть выражения для BC и KC, мы можем найти BK:
$BK = BC - KC = c \sin(\alpha) - c \cos(\alpha) \tan(\beta)$.

Для упрощения вынесем общий множитель $c$ за скобки и представим $\tan(\beta)$ как $\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$:
$BK = c(\sin(\alpha) - \cos(\alpha) \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)})$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$BK = c \left( \frac{\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \right)$.

Выражение в числителе является формулой синуса разности двух углов: $\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$.
Применив эту формулу, получаем:
$BK = c \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\beta)}$.

Ответ: $c \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\beta)}$