Номер 205, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна $a$, а диагональ $AC$ образует со стороной $AD$ угол $\alpha$. Найдите неизвестную сторону и диагональ прямоугольника.

205. Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна $a$, а диагональ $AC$ образует со стороной $AD$ угол $\alpha$. Найдите неизвестную сторону и диагональ прямоугольника.

Пусть ABCD — данный прямоугольник. По условию, сторона $AB = a$. Диагональ AC образует со стороной AD угол $α$, то есть $∠CAD = α$.

Поскольку ABCD — прямоугольник, то $∠D = 90^\circ$, и противоположные стороны равны, следовательно, $CD = AB = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем CD и AD — катеты, а AC — гипотенуза. Нам известны катет $CD=a$ и противолежащий ему угол $∠CAD = α$.

Неизвестная сторона

Неизвестная сторона — это AD. В прямоугольном треугольнике ADC она является катетом, прилежащим к углу $α$. Катет CD является противолежащим этому углу. Связь между двумя катетами и углом выражается через тангенс или котангенс.
$cot(α) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{AD}{CD}$
Подставим известное значение $CD = a$:
$cot(α) = \frac{AD}{a}$
Отсюда находим AD:
$AD = a \cdot cot(α)$
Ответ: $a \cdot cot(α)$.

Диагональ

Диагональ — это гипотенуза AC. В прямоугольном треугольнике ADC связь между противолежащим катетом CD, гипотенузой AC и углом $α$ выражается через синус.
$sin(α) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{AC}$
Подставим известное значение $CD = a$:
$sin(α) = \frac{a}{AC}$
Отсюда находим AC:
$AC = \frac{a}{sin(α)}$
Ответ: $\frac{a}{sin(α)}$.