Номер 208, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. В равнобокой трапеции ABCD основание BC равно 4 см, высота $CE = 2\sqrt{3}$ см, а боковая сторона образует с основанием AD угол $60^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

208. В равнобокой трапеции $ABCD$ основание $BC$ равно 4 см, высота $CE = 2\sqrt{3}$ см, а боковая сторона образует с основанием $AD$ угол $60^{\circ}$. Найдите диагональ трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Из условия задачи имеем:

• меньшее основание $BC = 4$ см;
• высота $CE = 2\sqrt{3}$ см, проведенная к основанию $AD$;
• угол при большем основании $\angle CDA = 60^\circ$.

Требуется найти длину диагонали трапеции (например, $AC$, так как в равнобокой трапеции диагонали равны: $AC = BD$).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CED$.

В этом треугольнике катет $CE$ (высота) равен $2\sqrt{3}$ см, а угол $\angle CDE = 60^\circ$. Мы можем найти длину отрезка $ED$, который является проекцией боковой стороны $CD$ на основание $AD$. Для этого воспользуемся определением тангенса:

$\tan(\angle CDE) = \frac{CE}{ED}$

Подставим известные значения:

$\tan(60^\circ) = \frac{2\sqrt{3}}{ED}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{ED} \implies ED = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ см.

2. Найдем длину большего основания $AD$.

Проведем вторую высоту $BF$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезки, отсекаемые высотами от вершин на большем основании, равны. Следовательно, $AF = ED = 2$ см.

Четырехугольник $BCEF$ является прямоугольником, поэтому $FE = BC = 4$ см.

Теперь мы можем найти длину всего основания $AD$:

$AD = AF + FE + ED = 2 + 4 + 2 = 8$ см.

3. Найдем длину диагонали $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACE$. Его катетами являются высота $CE$ и отрезок $AE$.

Длина $CE$ известна: $CE = 2\sqrt{3}$ см.

Длину отрезка $AE$ найдем как сумму длин отрезков $AF$ и $FE$:

$AE = AF + FE = 2 + 4 = 6$ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника $\triangle ACE$:

$AC^2 = AE^2 + CE^2$

$AC^2 = 6^2 + (2\sqrt{3})^2 = 36 + 4 \cdot 3 = 36 + 12 = 48$

$AC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.