Страница 29 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. В равнобокой трапеции ABCD основание BC равно 4 см, высота $CE = 2\sqrt{3}$ см, а боковая сторона образует с основанием AD угол $60^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

208. В равнобокой трапеции $ABCD$ основание $BC$ равно 4 см, высота $CE = 2\sqrt{3}$ см, а боковая сторона образует с основанием $AD$ угол $60^{\circ}$. Найдите диагональ трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Из условия задачи имеем:

• меньшее основание $BC = 4$ см;
• высота $CE = 2\sqrt{3}$ см, проведенная к основанию $AD$;
• угол при большем основании $\angle CDA = 60^\circ$.

Требуется найти длину диагонали трапеции (например, $AC$, так как в равнобокой трапеции диагонали равны: $AC = BD$).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CED$.

В этом треугольнике катет $CE$ (высота) равен $2\sqrt{3}$ см, а угол $\angle CDE = 60^\circ$. Мы можем найти длину отрезка $ED$, который является проекцией боковой стороны $CD$ на основание $AD$. Для этого воспользуемся определением тангенса:

$\tan(\angle CDE) = \frac{CE}{ED}$

Подставим известные значения:

$\tan(60^\circ) = \frac{2\sqrt{3}}{ED}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{ED} \implies ED = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$ см.

2. Найдем длину большего основания $AD$.

Проведем вторую высоту $BF$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезки, отсекаемые высотами от вершин на большем основании, равны. Следовательно, $AF = ED = 2$ см.

Четырехугольник $BCEF$ является прямоугольником, поэтому $FE = BC = 4$ см.

Теперь мы можем найти длину всего основания $AD$:

$AD = AF + FE + ED = 2 + 4 + 2 = 8$ см.

3. Найдем длину диагонали $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACE$. Его катетами являются высота $CE$ и отрезок $AE$.

Длина $CE$ известна: $CE = 2\sqrt{3}$ см.

Длину отрезка $AE$ найдем как сумму длин отрезков $AF$ и $FE$:

$AE = AF + FE = 2 + 4 = 6$ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника $\triangle ACE$:

$AC^2 = AE^2 + CE^2$

$AC^2 = 6^2 + (2\sqrt{3})^2 = 36 + 4 \cdot 3 = 36 + 12 = 48$

$AC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

209. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (рис. 34) $ \angle C = 90^\circ $, $ AB = c $, $ \angle BAC = \alpha $, $ \angle KAC = \beta $. Найдите отрезок $BK$.

Рис. 34

209. В прямоугольном треугольнике ABC (рис. 34) $ \angle C = 90^\circ $, $ AB = c $, $ \angle BAC = \alpha $, $ \angle KAC = \beta $. Найдите отрезок BK.

Рис. 34

Чтобы найти длину отрезка BK, представим его как разность длин отрезков BC и KC: $BK = BC - KC$. Нам нужно найти длины BC и KC, используя данные задачи.

1. Нахождение BC и AC из треугольника ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где $\angle C = 90^\circ$.
Катет BC противолежит углу $\angle BAC = \alpha$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\alpha) = \frac{BC}{AB}$.
Отсюда, зная, что $AB = c$:
$BC = AB \cdot \sin(\alpha) = c \sin(\alpha)$.

Катет AC прилежит к углу $\angle BAC = \alpha$. По определению косинуса:
$\cos(\alpha) = \frac{AC}{AB}$.
Отсюда:
$AC = AB \cdot \cos(\alpha) = c \cos(\alpha)$.

2. Нахождение KC из треугольника AKC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKC, где $\angle C = 90^\circ$.
Катет KC противолежит углу $\angle KAC = \beta$. По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:
$\tan(\beta) = \frac{KC}{AC}$.
Отсюда:
$KC = AC \cdot \tan(\beta)$.

Подставим выражение для AC, которое мы нашли в шаге 1:
$KC = (c \cos(\alpha)) \cdot \tan(\beta) = c \cos(\alpha) \tan(\beta)$.

3. Нахождение BK.

Теперь, когда у нас есть выражения для BC и KC, мы можем найти BK:
$BK = BC - KC = c \sin(\alpha) - c \cos(\alpha) \tan(\beta)$.

Для упрощения вынесем общий множитель $c$ за скобки и представим $\tan(\beta)$ как $\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$:
$BK = c(\sin(\alpha) - \cos(\alpha) \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)})$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$BK = c \left( \frac{\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \right)$.

Выражение в числителе является формулой синуса разности двух углов: $\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$.
Применив эту формулу, получаем:
$BK = c \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\beta)}$.

Ответ: $c \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\beta)}$

210. В трапеции $ABCD$ (рис. 35) $AB = 8$ см, $BC = 4$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle D = 120^\circ$. Найдите основание $AD$ трапеции.

Рис. 35

210. В трапеции $ABCD$ (рис. 35) $AB = 8$ см, $BC = 4$ см, $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle D = 120^{\circ}$. Найдите основание $AD$ трапеции.

Рис. 35

Для нахождения длины основания $AD$ трапеции $ABCD$ воспользуемся методом дополнительного построения.

1. Проведем из вершины $C$ отрезок $CM$, параллельный боковой стороне $AB$, так, чтобы точка $M$ лежала на основании $AD$.

2. Полученный четырехугольник $ABCM$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel AD$ по определению трапеции, $CM \parallel AB$ по построению). Из свойств параллелограмма следует, что длины его противоположных сторон равны:

$AM = BC = 4$ см

$CM = AB = 8$ см

3. Теперь рассмотрим треугольник $CMD$. Нам известны некоторые его элементы:

• Сторона $CM = 8$ см.
• Угол $\angle CDM$ совпадает с углом $\angle D$ трапеции, следовательно, $\angle CDM = 120^\circ$.
• Поскольку $CM \parallel AB$ и $AD$ является секущей, углы $\angle CMD$ и $\angle A$ являются соответственными. Следовательно, $\angle CMD = \angle A = 30^\circ$.

4. Зная два угла в треугольнике $CMD$, найдем третий угол $\angle MCD$:

$\angle MCD = 180^\circ - (\angle CDM + \angle CMD) = 180^\circ - (120^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

5. Так как $\angle CMD = \angle MCD = 30^\circ$, треугольник $CMD$ является равнобедренным. Нам необходимо найти длину стороны $MD$. Для этого применим теорему синусов к треугольнику $CMD$:

$\frac{MD}{\sin(\angle MCD)} = \frac{CM}{\sin(\angle CDM)}$

Подставим известные значения:

$\frac{MD}{\sin(30^\circ)} = \frac{8}{\sin(120^\circ)}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, выразим $MD$:

$MD = \frac{8 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

6. Длина основания $AD$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MD$:

$AD = AM + MD = 4 + \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $4 + \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

211. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.

211. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — количество сторон многоугольника.

Семиугольник — это многоугольник с семью сторонами, следовательно, для него число сторон $n = 7$.

Подставим значение $n=7$ в формулу для нахождения суммы углов:

$S_7 = (7-2) \cdot 180^\circ$

$S_7 = 5 \cdot 180^\circ$

$S_7 = 900^\circ$

Ответ: $900^\circ$.

212. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:

1) $1440^\circ$;

2) $1760^\circ$?

212. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:

1) $1440^{\circ}$;

2) $1760^{\circ}$?

Для того чтобы определить, существует ли выпуклый многоугольник с заданной суммой углов, воспользуемся формулой для нахождения суммы внутренних углов выпуклого n-угольника:

$S_n = (n - 2) \cdot 180°$

где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника. Для существования многоугольника необходимо, чтобы число $n$ было целым и не меньшим 3 ($n \ge 3$).

1) 1440°

Подставим данное значение суммы углов в формулу и найдем $n$:

$(n - 2) \cdot 180° = 1440°$

Разделим обе части уравнения на $180°$:

$n - 2 = \frac{1440}{180}$

$n - 2 = 8$

Теперь выразим $n$:

$n = 8 + 2$

$n = 10$

Мы получили целое число $n=10$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$. Следовательно, такой многоугольник существует. Это выпуклый десятиугольник.

Ответ: да, существует.

2) 1760°

Снова подставим заданное значение в формулу:

$(n - 2) \cdot 180° = 1760°$

Разделим обе части на $180°$:

$n - 2 = \frac{1760}{180}$

$n - 2 = \frac{176}{18} = \frac{88}{9}$

Теперь выразим $n$:

$n = \frac{88}{9} + 2 = \frac{88}{9} + \frac{18}{9} = \frac{106}{9}$

Число $n = \frac{106}{9}$ не является целым числом ($106$ не делится на $9$ нацело), а количество сторон многоугольника должно быть целым. Следовательно, выпуклого многоугольника с такой суммой углов не существует.

Ответ: нет, не существует.

213. Может ли наименьший угол выпуклого девятиугольника быть равным $141^\circ$?

213. Может ли наименьший угол выпуклого девятиугольника быть равным $141^\circ$?

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

Для девятиугольника, у которого $n=9$, сумма углов составляет:

$S_9 = (9 - 2) \cdot 180^\circ = 7 \cdot 180^\circ = 1260^\circ$.

Это означает, что сумма всех девяти углов любого выпуклого девятиугольника всегда равна $1260^\circ$.

Теперь предположим, что наименьший угол выпуклого девятиугольника равен $141^\circ$. Так как это наименьший угол, то все остальные восемь углов (и, следовательно, все девять углов) должны быть не меньше этой величины. То есть, каждый из девяти углов $\alpha_i$ удовлетворяет условию $\alpha_i \ge 141^\circ$.

Найдем минимально возможную сумму углов при таком условии. Она будет достигаться, если все углы равны $141^\circ$.

Сумма углов $S$ в этом случае будет не меньше, чем $9 \cdot 141^\circ$:

$S \ge 9 \cdot 141^\circ = 1269^\circ$.

Таким образом, мы получили, что если наименьший угол равен $141^\circ$, то сумма углов девятиугольника должна быть не меньше $1269^\circ$.

Однако, как мы вычислили ранее, сумма углов любого выпуклого девятиугольника строго равна $1260^\circ$.

Возникает противоречие: $1260^\circ \ge 1269^\circ$, что является неверным. Следовательно, наше первоначальное предположение было ошибочным.

Ответ: нет, наименьший угол выпуклого девятиугольника не может быть равным $141^\circ$.

214. Сколько диагоналей можно провести в семиугольнике?

214. Сколько диагоналей можно провести в семиугольнике?

Для определения количества диагоналей в многоугольнике можно использовать логические рассуждения или специальную формулу. Рассмотрим оба способа на примере семиугольника.

Способ 1: Логические рассуждения

Семиугольник — это многоугольник с 7 вершинами и 7 сторонами. Диагональ соединяет две любые вершины, которые не являются соседними.

Из каждой вершины семиугольника можно провести отрезки ко всем остальным $7 - 1 = 6$ вершинам. Два из этих отрезков будут сторонами многоугольника (они соединяют данную вершину с двумя соседними), а остальные — диагоналями. Таким образом, из каждой вершины можно провести $7 - 3 = 4$ диагонали.

Поскольку у нас 7 вершин, то общее количество диагоналей, выходящих из всех вершин, равно $7 \times 4 = 28$.

Однако при таком подсчете каждая диагональ учитывается дважды (например, диагональ, соединяющая вершину A и вершину C, посчитана и как выходящая из A, и как выходящая из C). Поэтому, чтобы найти истинное число диагоналей, нужно разделить полученный результат на 2:

$28 \div 2 = 14$

Способ 2: Использование формулы

Существует общая формула для вычисления количества диагоналей $D$ в многоугольнике с $n$ вершинами:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Для семиугольника число вершин $n = 7$. Подставим это значение в формулу:

$D = \frac{7 \times (7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 14

215. В выпуклом многоугольнике сумма углов равна $1080^\circ$.

Найдите количество его сторон и диагоналей.

215. В выпуклом многоугольнике сумма углов равна $1080^\circ$. Найдите количество его сторон и диагоналей.

Количество сторон

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180°$, где $n$ — количество сторон многоугольника.
По условию задачи, сумма углов равна $1080°$. Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно $n$:
$(n-2) \cdot 180° = 1080°$
Разделим обе части уравнения на $180°$:
$n-2 = \frac{1080°}{180°}$
$n-2 = 6$
$n = 6 + 2$
$n = 8$
Следовательно, данный многоугольник имеет 8 сторон.
Ответ: 8 сторон.

Количество диагоналей

Количество диагоналей $d$ выпуклого n-угольника можно найти по формуле:
$d = \frac{n(n-3)}{2}$
Мы уже выяснили, что количество сторон $n = 8$. Подставим это значение в формулу для нахождения количества диагоналей:
$d = \frac{8(8-3)}{2}$
$d = \frac{8 \cdot 5}{2}$
$d = \frac{40}{2}$
$d = 20$
Таким образом, у данного многоугольника 20 диагоналей.
Ответ: 20 диагоналей.

216. В выпуклом многоугольнике 20 диагоналей. Найдите количество его сторон и сумму углов.

216. В выпуклом многоугольнике 20 диагоналей. Найдите количество его сторон и сумму углов.

Количество его сторон

Количество диагоналей $d$ в выпуклом многоугольнике с $n$ сторонами вычисляется по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2}$ По условию задачи, количество диагоналей равно 20, то есть $d=20$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти количество сторон $n$: $20 = \frac{n(n-3)}{2}$ Умножим обе части уравнения на 2: $40 = n(n-3)$ Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $40 = n^2 - 3n$ $n^2 - 3n - 40 = 0$ Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: нам нужно найти два корня, произведение которых равно $-40$, а сумма равна $3$. Этими корнями являются числа $8$ и $-5$. $n_1 = 8$ $n_2 = -5$ Поскольку количество сторон многоугольника не может быть отрицательным числом, корень $n = -5$ не является решением задачи. Следовательно, у многоугольника 8 сторон.
Ответ: 8 сторон.

Сумма углов

Сумма внутренних углов $S$ выпуклого многоугольника с $n$ сторонами определяется по формуле: $S = (n-2) \cdot 180^\circ$ Из предыдущего пункта мы знаем, что количество сторон многоугольника $n=8$. Подставим это значение в формулу: $S = (8-2) \cdot 180^\circ$ $S = 6 \cdot 180^\circ$ $S = 1080^\circ$
Ответ: $1080^\circ$.

217. Все стороны пятиугольника, вписанного в окружность, равны. Найдите его углы.

217. Все стороны пятиугольника, вписанного в окружность, равны. Найдите его углы.

Пятиугольник, вписанный в окружность, у которого все стороны равны, является правильным пятиугольником. Это означает, что у него равны не только все стороны, но и все внутренние углы.

Сумму внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника можно вычислить по формуле:

$S_n = (n - 2) \times 180^\circ$

Для пятиугольника число сторон $n=5$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сумму всех его внутренних углов:

$S_5 = (5 - 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$

Поскольку пятиугольник правильный, все его пять углов равны. Чтобы найти величину одного угла, необходимо общую сумму углов разделить на их количество (то есть на 5):

$\alpha = \frac{S_5}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$

Следовательно, каждый угол данного пятиугольника равен $108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$.

218. Все углы шестиугольника, описанного около окружности, равны, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны шестиугольника.

218. Все углы шестиугольника, описанного около окружности, равны, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны шестиугольника.

Сначала найдем величину углов шестиугольника. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$. Для шестиугольника, у которого $n=6$, сумма углов составляет:

$S_6 = (6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$.

Поскольку по условию все углы шестиугольника равны, то каждый угол равен $720^\circ / 6 = 120^\circ$.

Пусть данный шестиугольник $ABCDEF$ описан около окружности с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Стороны шестиугольника являются касательными к этой окружности. Отрезки, соединяющие центр окружности с вершинами шестиугольника ($OA, OB, \dots$), являются биссектрисами его внутренних углов.

Рассмотрим вершину $B$ и прилегающие к ней стороны $AB$ и $BC$. Отрезок $OB$ делит угол $\angle ABC$ пополам, поэтому $\angle OBA = \angle OBC = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Пусть $T_1$ и $T_2$ — точки касания сторон $AB$ и $BC$ с окружностью соответственно. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, то есть $OT_1 \perp AB$ и $OT_2 \perp BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBT_1$. В нем катет $OT_1 = r$, а угол $\angle OBT_1 = 60^\circ$. Длину катета $BT_1$ можно найти через тангенс угла:

$\tan(\angle OBT_1) = \frac{OT_1}{BT_1} \implies \tan(60^\circ) = \frac{r}{BT_1}$

$BT_1 = \frac{r}{\tan(60^\circ)} = \frac{r}{\sqrt{3}}$

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков от вершины до точек касания равны. То есть, $BT_1 = BT_2$.

Проведя аналогичные рассуждения для всех вершин шестиугольника, мы установим, что все отрезки касательных от вершин до точек касания равны между собой, так как каждый из них будет равен $\frac{r}{\sqrt{3}}$.

Пусть $x = \frac{r}{\sqrt{3}}$. Тогда стороны шестиугольника, которые состоят из двух таких отрезков, равны:

$AB = AT_1 + BT_1 = x + x = 2x$

$BC = BT_2 + CT_2 = x + x = 2x$

... и так далее для всех шести сторон. Следовательно, все стороны шестиугольника равны, то есть он является правильным.

Периметр правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $P = 6a$. По условию задачи, периметр равен 72 см.

$6a = 72$

$a = \frac{72}{6} = 12$ см.

Таким образом, каждая сторона шестиугольника равна 12 см.

Ответ: все стороны шестиугольника равны 12 см.