Номер 218, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Все углы шестиугольника, описанного около окружности, равны, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны шестиугольника.

218. Все углы шестиугольника, описанного около окружности, равны, а его периметр равен 72 см. Найдите стороны шестиугольника.

Сначала найдем величину углов шестиугольника. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$. Для шестиугольника, у которого $n=6$, сумма углов составляет:

$S_6 = (6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$.

Поскольку по условию все углы шестиугольника равны, то каждый угол равен $720^\circ / 6 = 120^\circ$.

Пусть данный шестиугольник $ABCDEF$ описан около окружности с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Стороны шестиугольника являются касательными к этой окружности. Отрезки, соединяющие центр окружности с вершинами шестиугольника ($OA, OB, \dots$), являются биссектрисами его внутренних углов.

Рассмотрим вершину $B$ и прилегающие к ней стороны $AB$ и $BC$. Отрезок $OB$ делит угол $\angle ABC$ пополам, поэтому $\angle OBA = \angle OBC = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Пусть $T_1$ и $T_2$ — точки касания сторон $AB$ и $BC$ с окружностью соответственно. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, то есть $OT_1 \perp AB$ и $OT_2 \perp BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBT_1$. В нем катет $OT_1 = r$, а угол $\angle OBT_1 = 60^\circ$. Длину катета $BT_1$ можно найти через тангенс угла:

$\tan(\angle OBT_1) = \frac{OT_1}{BT_1} \implies \tan(60^\circ) = \frac{r}{BT_1}$

$BT_1 = \frac{r}{\tan(60^\circ)} = \frac{r}{\sqrt{3}}$

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков от вершины до точек касания равны. То есть, $BT_1 = BT_2$.

Проведя аналогичные рассуждения для всех вершин шестиугольника, мы установим, что все отрезки касательных от вершин до точек касания равны между собой, так как каждый из них будет равен $\frac{r}{\sqrt{3}}$.

Пусть $x = \frac{r}{\sqrt{3}}$. Тогда стороны шестиугольника, которые состоят из двух таких отрезков, равны:

$AB = AT_1 + BT_1 = x + x = 2x$

$BC = BT_2 + CT_2 = x + x = 2x$

... и так далее для всех шести сторон. Следовательно, все стороны шестиугольника равны, то есть он является правильным.

Периметр правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $P = 6a$. По условию задачи, периметр равен 72 см.

$6a = 72$

$a = \frac{72}{6} = 12$ см.

Таким образом, каждая сторона шестиугольника равна 12 см.

Ответ: все стороны шестиугольника равны 12 см.