Номер 220, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Биссектрисы пяти углов шестиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

220. Биссектрисы пяти углов шестиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

Для того чтобы в многоугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы все биссектрисы его внутренних углов пересекались в одной точке. Эта точка будет являться центром вписанной окружности.

Пусть дан шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$. Обозначим его стороны, лежащие на прямых $l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6$, где $l_1$ содержит сторону $A_1A_2$, $l_2$ содержит $A_2A_3$, и так далее, до $l_6$, содержащей $A_6A_1$.

По условию задачи, биссектрисы пяти углов, например $\angle A_1, \angle A_2, \angle A_3, \angle A_4$ и $\angle A_5$, пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$.

Основное свойство биссектрисы угла заключается в том, что любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла. Обозначим расстояние от точки $P$ до прямой $l$ как $\rho(P, l)$.

Рассмотрим точку $O$:

• Поскольку $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_1$, расстояние от $O$ до сторон $A_6A_1$ (прямая $l_6$) и $A_1A_2$ (прямая $l_1$) одинаково: $\rho(O, l_6) = \rho(O, l_1)$.
• Поскольку $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_2$, то $\rho(O, l_1) = \rho(O, l_2)$.
• Поскольку $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_3$, то $\rho(O, l_2) = \rho(O, l_3)$.
• Поскольку $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_4$, то $\rho(O, l_3) = \rho(O, l_4)$.
• Поскольку $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_5$, то $\rho(O, l_4) = \rho(O, l_5)$.

Объединив эти равенства в одну цепочку, мы получаем, что точка $O$ равноудалена от шести прямых, на которых лежат стороны шестиугольника:

$\rho(O, l_6) = \rho(O, l_1) = \rho(O, l_2) = \rho(O, l_3) = \rho(O, l_4) = \rho(O, l_5)$.

Теперь рассмотрим шестой угол, $\angle A_6$, который образован сторонами, лежащими на прямых $l_5$ и $l_6$. Из полученной нами цепочки равенств следует, что $\rho(O, l_5) = \rho(O, l_6)$.

Так как точка $O$ равноудалена от сторон угла $\angle A_6$, она, по определению, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, биссектриса шестого угла также проходит через точку $O$.

Таким образом, мы доказали, что все шесть биссектрис внутренних углов данного шестиугольника пересекаются в одной точке $O$. Это и является условием того, что в шестиугольник можно вписать окружность (с центром в точке $O$).

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку точка пересечения пяти биссектрис равноудалена от всех шести сторон шестиугольника, она также лежит и на шестой биссектрисе. А если все биссектрисы многоугольника пересекаются в одной точке, то в него можно вписать окружность.