Номер 219, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Серединные перпендикуляры четырёх сторон пятиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого пятиугольника можно описать окружность.

219. Серединные перпендикуляры четырёх сторон пятиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого пятиугольника можно описать окружность.

Пусть дан пятиугольник $ABCDE$. По условию, серединные перпендикуляры к четырём его сторонам пересекаются в одной точке, которую мы обозначим $O$. Без ограничения общности, можно считать, что это серединные перпендикуляры к сторонам $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$.

Ключевым свойством серединного перпендикуляра к отрезку является то, что любая точка на нём равноудалена от концов этого отрезка.

Применим это свойство к точке $O$ и каждой из четырёх сторон:

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, расстояние от $O$ до вершины $A$ равно расстоянию от $O$ до вершины $B$. Таким образом, $OA = OB$.

Аналогично, так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, получаем $OB = OC$.

Так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $CD$, то $OC = OD$.

И, наконец, так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $DE$, то $OD = OE$.

Объединив эти равенства, мы получаем следующую цепочку:

$OA = OB = OC = OD = OE$

Это равенство означает, что точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от всех пяти вершин пятиугольника $ABCDE$.

По определению, многоугольник является вписанным в окружность (или около него можно описать окружность), если существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка является центром описанной окружности. В нашем случае такая точка — это $O$.

Следовательно, можно построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$, которая пройдет через все пять вершин пятиугольника. Это и доказывает, что около данного пятиугольника можно описать окружность.

Ответ: Утверждение доказано. Так как точка пересечения серединных перпендикуляров четырёх сторон пятиугольника равноудалена от всех пяти его вершин, она является центром описанной окружности, что доказывает возможность её построения.