Страница 30 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Серединные перпендикуляры четырёх сторон пятиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого пятиугольника можно описать окружность.

219. Серединные перпендикуляры четырёх сторон пятиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого пятиугольника можно описать окружность.

Пусть дан пятиугольник $ABCDE$. По условию, серединные перпендикуляры к четырём его сторонам пересекаются в одной точке, которую мы обозначим $O$. Без ограничения общности, можно считать, что это серединные перпендикуляры к сторонам $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$.

Ключевым свойством серединного перпендикуляра к отрезку является то, что любая точка на нём равноудалена от концов этого отрезка.

Применим это свойство к точке $O$ и каждой из четырёх сторон:

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, расстояние от $O$ до вершины $A$ равно расстоянию от $O$ до вершины $B$. Таким образом, $OA = OB$.

Аналогично, так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, получаем $OB = OC$.

Так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $CD$, то $OC = OD$.

И, наконец, так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $DE$, то $OD = OE$.

Объединив эти равенства, мы получаем следующую цепочку:

$OA = OB = OC = OD = OE$

Это равенство означает, что точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от всех пяти вершин пятиугольника $ABCDE$.

По определению, многоугольник является вписанным в окружность (или около него можно описать окружность), если существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка является центром описанной окружности. В нашем случае такая точка — это $O$.

Следовательно, можно построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$, которая пройдет через все пять вершин пятиугольника. Это и доказывает, что около данного пятиугольника можно описать окружность.

Ответ: Утверждение доказано. Так как точка пересечения серединных перпендикуляров четырёх сторон пятиугольника равноудалена от всех пяти его вершин, она является центром описанной окружности, что доказывает возможность её построения.

220. Биссектрисы пяти углов шестиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

220. Биссектрисы пяти углов шестиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

Для того чтобы в многоугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы все биссектрисы его внутренних углов пересекались в одной точке. Эта точка будет являться центром вписанной окружности.

Пусть дан шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$. Обозначим его стороны, лежащие на прямых $l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6$, где $l_1$ содержит сторону $A_1A_2$, $l_2$ содержит $A_2A_3$, и так далее, до $l_6$, содержащей $A_6A_1$.

По условию задачи, биссектрисы пяти углов, например $\angle A_1, \angle A_2, \angle A_3, \angle A_4$ и $\angle A_5$, пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$.

Основное свойство биссектрисы угла заключается в том, что любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла. Обозначим расстояние от точки $P$ до прямой $l$ как $\rho(P, l)$.

Рассмотрим точку $O$:

• Поскольку $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_1$, расстояние от $O$ до сторон $A_6A_1$ (прямая $l_6$) и $A_1A_2$ (прямая $l_1$) одинаково: $\rho(O, l_6) = \rho(O, l_1)$.
• Поскольку $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_2$, то $\rho(O, l_1) = \rho(O, l_2)$.
• Поскольку $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_3$, то $\rho(O, l_2) = \rho(O, l_3)$.
• Поскольку $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_4$, то $\rho(O, l_3) = \rho(O, l_4)$.
• Поскольку $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A_5$, то $\rho(O, l_4) = \rho(O, l_5)$.

Объединив эти равенства в одну цепочку, мы получаем, что точка $O$ равноудалена от шести прямых, на которых лежат стороны шестиугольника:

$\rho(O, l_6) = \rho(O, l_1) = \rho(O, l_2) = \rho(O, l_3) = \rho(O, l_4) = \rho(O, l_5)$.

Теперь рассмотрим шестой угол, $\angle A_6$, который образован сторонами, лежащими на прямых $l_5$ и $l_6$. Из полученной нами цепочки равенств следует, что $\rho(O, l_5) = \rho(O, l_6)$.

Так как точка $O$ равноудалена от сторон угла $\angle A_6$, она, по определению, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, биссектриса шестого угла также проходит через точку $O$.

Таким образом, мы доказали, что все шесть биссектрис внутренних углов данного шестиугольника пересекаются в одной точке $O$. Это и является условием того, что в шестиугольник можно вписать окружность (с центром в точке $O$).

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку точка пересечения пяти биссектрис равноудалена от всех шести сторон шестиугольника, она также лежит и на шестой биссектрисе. А если все биссектрисы многоугольника пересекаются в одной точке, то в него можно вписать окружность.

221. Сторона прямоугольника равна 8 см и образует с диагональю угол $30^\circ$. Найдите площадь прямоугольника.

221. Сторона прямоугольника равна 8 см и образует с диагональю угол $30^\circ$. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник со сторонами a и b. По условию, одна из сторон равна 8 см. Пусть $a = 8$ см. Эта сторона образует с диагональю прямоугольника угол 30°.

Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике стороны прямоугольника (a и b) являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

Рассмотрим один из таких треугольников. В нем катет $a = 8$ см является прилежащим к углу 30°, а катет b — противолежащим этому углу.

Отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике равно тангенсу угла. Запишем это в виде формулы:

$\tan(30^{\circ}) = \frac{b}{a}$

Подставим известные значения: $a = 8$ см и $\tan(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{b}{8}$

Теперь найдем длину второй стороны b:

$b = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Площадь прямоугольника (S) вычисляется как произведение его смежных сторон:

$S = a \times b$

$S = 8 \times \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}$ см².

Ответ: $\frac{64\sqrt{3}}{3}$ см².

222. Площадь прямоугольника равна $112 \text{ см}^2$. Найдите его стороны, если они относятся как $4 : 7$.

222. Площадь прямоугольника равна $112 \text{ см}^2$. Найдите его стороны, если они относятся как $4 : 7$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию задачи, их отношение равно $4:7$. Это можно записать как $\frac{a}{b} = \frac{4}{7}$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить как:

$a = 4x$

$b = 7x$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам известно, что площадь равна $112 \text{ см}^2$. Подставим выражения для сторон в формулу площади и составим уравнение:

$(4x) \cdot (7x) = 112$

$28x^2 = 112$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$x^2 = \frac{112}{28}$

$x^2 = 4$

Так как длина стороны может быть только положительным числом, извлекаем положительный квадратный корень:

$x = \sqrt{4} = 2$

Теперь, зная значение коэффициента $x$, мы можем найти длины сторон прямоугольника:

Первая сторона: $a = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Вторая сторона: $b = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 14 см.

223. Площадь прямоугольника равна 21 $см^2$. Найдите его стороны, если одна из них на 4 см больше другой.

223. Площадь прямоугольника равна $21 \text{ см}^2$. Найдите его стороны, если одна из них на 4 см больше другой.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см.

Согласно условию, вторая сторона на 4 см больше, следовательно, ее длина составляет $(x + 4)$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его смежных сторон. Известно, что площадь равна 21 см². Составим и решим уравнение:

$S = x \cdot (x + 4)$

$21 = x \cdot (x + 4)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 4x = 21$

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Поскольку длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной, корень $x_2 = -7$ не является решением задачи.

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 3 см.

Найдем большую сторону:

$x + 4 = 3 + 4 = 7$ см.

Проверим: площадь $3 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 21 \text{ см}^2$. Условие выполнено.

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 см и 7 см.

224. Квадрат и прямоугольник равновелики. Сторона квадрата равна 8 см, а одна из сторон прямоугольника в 4 раза больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

224. Квадрат и прямоугольник равновелики. Сторона квадрата равна 8 см, а одна из сторон прямоугольника в 4 раза больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

По условию задачи, квадрат и прямоугольник равновелики. Это означает, что их площади равны.

1. Найдем площадь квадрата.

Сторона квадрата равна $a = 8$ см. Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле $S = a^2$.

$S_{кв} = 8^2 = 64$ см².

2. Найдем стороны прямоугольника.

Поскольку фигуры равновелики, площадь прямоугольника ($S_{пр}$) также равна 64 см².

$S_{пр} = 64$ см².

Пусть одна (меньшая) сторона прямоугольника равна $x$ см. По условию, другая сторона в 4 раза больше, следовательно, ее длина составляет $4x$ см.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

$S_{пр} = x \cdot 4x = 4x^2$

Составим уравнение, приравняв площадь прямоугольника к известному значению:

$4x^2 = 64$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = \frac{64}{4}$

$x^2 = 16$

Найдем $x$, извлекая квадратный корень. Так как длина стороны является положительной величиной, выбираем положительное значение корня:

$x = \sqrt{16} = 4$

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 4 см.

Теперь найдем большую сторону:

$4x = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Стороны прямоугольника равны 4 см и 16 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 16 см.

225. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата, площадь которого равна $40\text{ см}^2$.

225. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата, площадь которого равна $40 \text{ см}^2$.

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $S$ — его площадь. По условию задачи, $S = 40$ см².

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$. Исходя из этого, мы можем найти длину стороны квадрата:
$a^2 = 40$
$a = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Диаметр $d$ окружности, описанной около квадрата, равен диагонали этого квадрата. Диагональ квадрата можно найти, используя теорему Пифагора, или по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Подставим найденное значение стороны $a$ в формулу для диагонали:
$d = (2\sqrt{10}) \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{10 \cdot 2} = 2\sqrt{20}$ см.

Упростим полученное выражение для диагонали:
$d = 2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см.

Радиус $R$ описанной окружности равен половине ее диаметра $d$:
$R = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.

226. Как изменится площадь квадрата, если его сторону:

1) уменьшить в 4 раза;

2) увеличить в $m$ раз?

226. Как изменится площадь квадрата, если его сторону:

1) уменьшить в 4 раза;

2) увеличить в $m$ раз?

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $S$ — площадь, а $a$ — длина его стороны.

Пусть первоначальная длина стороны квадрата равна $a$, тогда его площадь $S_{_0} = a^2$.

1) уменьшить в 4 раза

Если сторону квадрата уменьшить в 4 раза, то ее новая длина $a_1$ составит $a_1 = \frac{a}{4}$.

Новая площадь квадрата $S_1$ будет равна:

$S_1 = (a_1)^2 = (\frac{a}{4})^2 = \frac{a^2}{16}$.

Чтобы определить, как изменилась площадь, найдем отношение первоначальной площади к новой:

$\frac{S_{_0}}{S_1} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{16}} = 16$.

Таким образом, площадь квадрата уменьшилась в 16 раз.

Ответ: площадь уменьшится в 16 раз.

2) увеличить в m раз

Если сторону квадрата увеличить в $m$ раз, то ее новая длина $a_2$ составит $a_2 = a \cdot m$.

Новая площадь квадрата $S_2$ будет равна:

$S_2 = (a_2)^2 = (a \cdot m)^2 = a^2 \cdot m^2$.

Чтобы определить, как изменилась площадь, найдем отношение новой площади к первоначальной:

$\frac{S_2}{S_{_0}} = \frac{a^2 \cdot m^2}{a^2} = m^2$.

Таким образом, площадь квадрата увеличилась в $m^2$ раз.

Ответ: площадь увеличится в $m^2$ раз.

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон уменьшить в 5 раз;

2) одну сторону увеличить в $\sqrt{20}$ раз, а другую — в $\sqrt{5}$ раз;

3) одну сторону увеличить в 8 раз, а другую уменьшить в 2 раза?

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон уменьшить в 5 раз;

2) одну сторону увеличить в $\sqrt{20}$ раз, а другую — в $\sqrt{5}$ раз;

3) одну сторону увеличить в 8 раз, а другую уменьшить в 2 раза?

Пусть $a$ и $b$ — первоначальные длины сторон прямоугольника. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

1)
Если одну из сторон, например, $a$, уменьшить в 5 раз, то ее новая длина станет $a_1 = \frac{a}{5}$. Длина второй стороны $b$ не изменится. Новая площадь $S_1$ будет равна произведению новых сторон:
$S_1 = a_1 \cdot b = \frac{a}{5} \cdot b = \frac{1}{5} (a \cdot b) = \frac{1}{5} S$.
Таким образом, новая площадь в 5 раз меньше первоначальной.
Ответ: площадь уменьшится в 5 раз.

2)
Если одну сторону увеличить в $\sqrt{20}$ раз, а другую — в $\sqrt{5}$ раз, то новые длины сторон будут $a_2 = a \cdot \sqrt{20}$ и $b_2 = b \cdot \sqrt{5}$. Новая площадь $S_2$ будет равна:
$S_2 = a_2 \cdot b_2 = (a \cdot \sqrt{20}) \cdot (b \cdot \sqrt{5}) = (a \cdot b) \cdot (\sqrt{20} \cdot \sqrt{5})$.
Так как $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10$, то:
$S_2 = (a \cdot b) \cdot 10 = 10S$.
Таким образом, новая площадь в 10 раз больше первоначальной.
Ответ: площадь увеличится в 10 раз.

3)
Если одну сторону увеличить в 8 раз, а другую уменьшить в 2 раза, то новые длины сторон будут $a_3 = a \cdot 8$ и $b_3 = \frac{b}{2}$. Новая площадь $S_3$ будет равна:
$S_3 = a_3 \cdot b_3 = (a \cdot 8) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) = (a \cdot b) \cdot \frac{8}{2} = (a \cdot b) \cdot 4 = 4S$.
Таким образом, новая площадь в 4 раза больше первоначальной.
Ответ: площадь увеличится в 4 раза.

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 5 см и 6 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 5 см и 6 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан прямоугольник, и из одного из его углов проведена биссектриса. Угол прямоугольника равен $90^\circ$, поэтому биссектриса делит его на два угла по $45^\circ$.

Биссектриса, проведенная из вершины, отсекает от прямоугольника прямоугольный треугольник. Поскольку один из острых углов этого треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что отсеченный треугольник является равнобедренным. Катеты этого треугольника равны, а они, в свою очередь, являются стороной прямоугольника и частью другой стороны, на которую ее делит биссектриса.

Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна одному из отрезков, на которые биссектриса делит смежную с ней сторону. Вторая сторона прямоугольника равна сумме длин этих двух отрезков. По условию, длины отрезков равны 5 см и 6 см.

Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Одна сторона прямоугольника равна 5 см.

В этом случае эта сторона является меньшей стороной. Пусть ее длина $a = 5$ см. Тогда биссектриса делит большую сторону на отрезки 5 см и 6 см. Длина большей стороны $b$ будет равна сумме этих отрезков:

$b = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} = 11 \text{ см}$

Площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 11 см равна:

$S_1 = a \cdot b = 5 \cdot 11 = 55 \text{ см}^2$

Случай 2: Одна сторона прямоугольника равна 6 см.

В этом случае эта сторона также является меньшей стороной. Пусть ее длина $a = 6$ см. Тогда биссектриса делит большую сторону на отрезки 6 см и 5 см. Длина большей стороны $b$ будет равна сумме этих отрезков:

$b = 6 \text{ см} + 5 \text{ см} = 11 \text{ см}$

Площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 11 см равна:

$S_2 = a \cdot b = 6 \cdot 11 = 66 \text{ см}^2$

Ответ: 55 см² или 66 см².

Как было показано при нахождении площади, существуют два возможных набора размеров для прямоугольника, которые удовлетворяют условиям задачи: 5 см × 11 см и 6 см × 11 см. Каждый из этих вариантов приводит к своему значению площади. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 2.

229. Биcсектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 2 см и 4 см. Найдите площадь прямоугольника.

229. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 2 см и 4 см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами $AB = a$ и $AD = b$. Проведем диагональ $BD$ и биссектрису угла $A$, которая пересекает диагональ $BD$ в точке $K$. Треугольник $ABD$ является прямоугольным, так как все углы прямоугольника равны $90^\circ$.

Согласно условию, биссектриса $AK$ делит диагональ $BD$ на отрезки длиной 2 см и 4 см. Пусть $BK = 2$ см и $KD = 4$ см (или наоборот, что не повлияет на итоговую площадь). Длина всей диагонали $BD$ равна сумме длин ее отрезков:$BD = BK + KD = 2 + 4 = 6$ см.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для прямоугольного треугольника $ABD$ и биссектрисы $AK$ это свойство записывается так:$$ \frac{AB}{AD} = \frac{BK}{KD} $$Подставим известные значения в это соотношение:$$ \frac{a}{b} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \frac{a}{b} = \frac{4}{2} = 2 $$

Рассмотрим один из случаев, например, $\frac{a}{b} = 2$, откуда получаем $a = 2b$.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ABD$:$$ AB^2 + AD^2 = BD^2 $$$$ a^2 + b^2 = 6^2 $$$$ a^2 + b^2 = 36 $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$$ \begin{cases} a = 2b \\ a^2 + b^2 = 36 \end{cases} $$Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:$$ (2b)^2 + b^2 = 36 $$$$ 4b^2 + b^2 = 36 $$$$ 5b^2 = 36 $$$$ b^2 = \frac{36}{5} $$

Зная $b^2$, найдем $a^2$:$$ a^2 = (2b)^2 = 4b^2 = 4 \cdot \frac{36}{5} = \frac{144}{5} $$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Для удобства сначала найдем квадрат площади:$$ S^2 = a^2 \cdot b^2 = \frac{144}{5} \cdot \frac{36}{5} = \frac{5184}{25} $$Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти площадь:$$ S = \sqrt{\frac{5184}{25}} = \frac{72}{5} = 14.4 \text{ см}^2 $$

Ответ: $14.4 \text{ см}^2$.